Вершинный сепаратор (теория графов)

В теории графов подмножество вершин называется вершинным сепаратором для несмежных вершин и , если удаление из графа разделяет и в две компоненты связности.

Примеры

Сепаратор для решётки.

Предположим, что задана решётка с r строками и c столбцами, тогда полное число n вершин равно r*c. Например, на рисунке, r = 5, c = 8 и n = 40. Если r нечётно, существует одна центральная строка, в противном случае существуют две строки, одинаково близких к центру. Таким же образом, если c нечётно, существует один центральный столбец, в противном случае существуют два столбца, одинаково близких к центру. Выбрав в качестве S одну из этих строк или столбцов, и удалив S из графа, получим разбиение графа на два меньших связных подграфа A и B, каждый из которых содержит максимум n/2 вершин. Если r  c (как на иллюстрации), то выбор центрального столбца даст сепаратор S с r  n вершинами, и, таким же образом, если c  r, выбор центральной строки даст сепаратор с максимум √n вершинами. Таким образом, любой граф-решётка имеет сепаратор S с размером, не превосходящим √n, удаление которой разделяет граф на две связные компоненты, каждая с размером, не превосходящим n/2[1].

На левом дереве одна центральная вершина. На правом дереве две центральные вершины. Числа, показанные на рисунке у вершин, показывают эксцентриситет

В качестве другого класса примеров можно использовать свободное дерево T, которое имеет сепаратор S, состоящий из одной вершины, удаление которой разделяет T на две (или более) связные компоненты, каждая из которых имеет размер, не превосходящий n/2. Точнее, существует в точности одна или две вершины, в зависимости от того, является ли дерево центрированным или бицентрированным[2].

Вопреки приведённым примерам не все вершинные сепараторы сбалансированы, но это свойство наиболее полезно для приложений в информатике.

Минимальные сепараторы

Пусть S(a,b)-сепаратор, то есть подмножество вершин, разделяющее две несмежные вершины a и b. Тогда S является минимальным (a,b)-сепаратором, если никакое подмножество S не разделяет a и b. Множество S называется минимальным сепаратором, если оно является минимальным сепаратором для какой-либо пары (a,b) несмежных вершин. Ниже приведён хорошо известный результат, касающийся характеризации минимальных сепараторов[3]:

Лемма. Вершинный сепаратор S в G минимален тогда и только тогда, когда граф , полученный удалением S из G, имеет две связные компоненты и такие, что каждая вершина в S связна с некоторой вершиной в и некоторой вершиной в .

Минимальные сепараторы образуют алгебраическую систему: для двух фиксированных вершин a и b заданного графа G (a,b)-сепаратор S можно рассматривать как предшественник другого (a,b)-сепаратора T, если любой путь из a в b попадает в S прежде, чем попасть в T. Более строго отношение предшествования определяется следующим образом: Пусть S и T — два (a,b)-сепаратора в 'G'. Тогда S является предшественником T, что обозначается как , если для любой вершины любой путь, соединяющий x и b, содержит вершину из T. Из определения следует, что отношение предшествования является предпорядком на множестве всех (a,b)-сепараторов. Более того, Эскаланте [4] доказал, что отношение предшествования становится полной решёткой, если ограничиться множеством минимальных (a,b)-сепараторов G.

См. также

Примечания

  1. J. Alan George. Nested dissection of a regular finite element mesh // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1973. Т. 10, вып. 2. С. 345—363. doi:10.1137/0710032. — .. Вместо использования строк и столбцов графа, Джордж разделяет граф на четыре части путём объединения строк и столбцов в качестве сепаратора.
  2. Camille Jordan. Sur les assemblages de lignes (фр.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. — 1869. Т. 70, вып. 2. С. 185—190.
  3. Martin Charles Golumbic. Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs. — Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-289260-7.
  4. F. Escalante. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. — 1972. — Т. 38. — С. 199—220. doi:10.1007/BF02996932.

Литература

  • Arnold Rosenberg, Lenwood Heath. Graph Separators, with Applications. Springer. — 2002. doi:10.1007/b115747.


This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.