Псевдоокружность

Псевдоокружность состоит из четырёх точек ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$ и наделена топологией со следующими открытыми множествами:

${\displaystyle \left\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \right\}}$.

• С точки зрения общей топологии, псевдоокружность — патологическое пространство, так как оно не удовлетворяет ни одной из аксиом отделимости, кроме Т₀.
• Непрерывное отображение ${\displaystyle f}$ из окружности ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}=\{\,(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\,\}}$ в псевдоокружность, определяемое как

  ${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}a\quad x<0\\b\quad x>0\\c\quad (x,y)=(0,1)\\d\quad (x,y)=(0,-1)\end{cases}}}$,

есть слабая гомотопическая эквивалентность. В частности, ${\displaystyle f}$ индуцирует изоморфизмы всех гомотопических групп, а также изоморфизм на сингулярные гомологиях и когомологиях и вообще изоморфизм для всех теорий гомологий и когомологий.

• Павел Сергеевич Александров показал, что для любого конечного симплициального комплекса К существует конечное топологическое пространство Х_К, которое имеет тот же слабый гомотопический тип, что и геометрическая реализация |К|[1].