Произведение Адамара

Для двух матриц ${\displaystyle A,B}$ одинаковой размерности ${\displaystyle m\times n}$ произведение Адамара определено как покомпонентное произведение двух матриц:

${\displaystyle (A\circ B)_{i,j}=(A)_{i,j}\cdot (B)_{i,j}}$

Для двух матриц, которые имеют разные размерности, произведение Адамара не определено.

Пример для матриц 3×3:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}\,b_{11}&a_{12}\,b_{12}&a_{13}\,b_{13}\\a_{21}\,b_{21}&a_{22}\,b_{22}&a_{23}\,b_{23}\\a_{31}\,b_{31}&a_{32}\,b_{32}&a_{33}\,b_{33}\end{bmatrix}}}$.

Является ассоциативной и дистрибутивной операцией и, в отличие от обычного произведения матриц, коммутативно:

${\displaystyle A\circ B=B\circ A}$,

${\displaystyle A\circ (B\circ C)=(A\circ B)\circ C}$,

${\displaystyle A\circ (B+C)=A\circ B+A\circ C}$.

Свойства смешанных произведений с другими вариантами умножения матриц:

${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)=(A\circ C)\otimes (B\circ D)}$, где ${\displaystyle \otimes }$ — произведение Кронекера;

${\displaystyle (A\bullet B)\circ (C\bullet D)=(A\circ C)\bullet (B\circ D)}$, где ${\displaystyle \bullet }$ — торцевое произведение[3];

${\displaystyle (A\bullet B)(C\ast D)=(AC)\circ (BD)}$, где ${\displaystyle \ast }$ — столбцовое произведение Хатри — Рао.

Используется в алгоритмах сжатия с потерями, например, JPEG.

В программных пакетах MATLAB и GNU Octave операция используется как стандартная операция умножения массивов и обозначается символом «.*»[4].

Операция произведения над векторными типами данных в GPGPU-технологиях программирования также реализована по принципу произведения Адамара. Другие примитивные математические операции над векторными типами данных реализованы как покомпонентные операции над их компонентами.

• Хорн Р. Матричный анализ: Пер. с англ. / Р. Хорн, Ч. Джонсон. – М.: Мир, 1989.– 655 с.