Примарная абелева группа

-примарная абелева группа (где  — фиксированное простое число) — абелева группа , такая что порядок любого элемента из является степенью .

Примеры

  •  — аддитивная группа классов вычетов по модулю ;
  •  — аддитивная группа кольца многочленов над полем .

Свойства

  • Любая периодическая абелева группа (то есть группа без элементов бесконечного порядка) разлагается в прямую сумму -примарных подгрупп.

Примарная абелева группа называется элементарной, если все ее ненулевые элементы имеют порядок равный .

  • Абелева группа является -примарной элементарной тогда и только тогда, когда она разлагается в прямую сумму групп вида .

-высотой элемента называется наименьшее натуральное число , такое что . Если такого натурального не существует, то элемент имеет бесконечную -высоту.

  • Критерий Куликова: -примарная абелева группа является прямой суммой циклических групп тогда и только тогда, когда есть объединение возрастающей цепочки подгрупп
,

где -высоты ненулевых элементов подгрупп меньше фиксированного элемента .

Критерий Куликова обобщает теоремы Прюфера:

  • Первая теорема Прюфера: Ограниченная -примарная (периодическая) абелева группа является прямой суммой циклических подгрупп.
  • Вторая теорема Прюфера: Счетная -примарная абелева группа разлагается в прямую сумму циклических подгрупп тогда и только тогда, когда она не содержит ненулевых элементов бесконечной -высоты.

Литература

  • Л. Фукс Бесконечные абелевы группы. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1974, 1977.
  • Л. Я. Куликов К теории абелевых групп произвольной мощности // Математический сборник, 1941. — Т. 9, № 1. — С. 165—181.
  • H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. — Т. 17, № 1. — С. 35-61.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.