Преобразование Боголюбова

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов

${\displaystyle \left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right]=1~.}$

Определим новую пару операторов

${\displaystyle {\hat {b}}=u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\hat {b}}^{\dagger }=u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}~,}$

где второй эрмитово сопряжен с первым.

Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам ${\displaystyle {\hat {a}}}$ и ${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$ операторы ${\displaystyle {\hat {b}}{\text{ и}}{\hat {b}}^{\dagger }}$. Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор

${\displaystyle \left[{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right]=\left[u{\hat {a}}+v{\hat {a}}^{\dagger },u^{*}{\hat {a}}^{\dagger }+v^{*}{\hat {a}}\right]=\cdots =\left(|u|^{2}-|v|^{2}\right)\left[{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right].}$

Очевидно, что ${\displaystyle \,|u|^{2}-|v|^{2}=1}$ — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\operatorname {ch} r}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\operatorname {sh} r~.}$

Для антикоммутатора

${\displaystyle \left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}=1}$,

такое же преобразование с u и v приводит к

${\displaystyle \left\{{\hat {b}},{\hat {b}}^{\dagger }\right\}=(|u|^{2}+|v|^{2})\left\{{\hat {a}},{\hat {a}}^{\dagger }\right\}}$

Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде

${\displaystyle u=e^{i\theta _{1}}\cos r\,\!}$

${\displaystyle v=e^{i\theta _{2}}\sin r\,\!.}$