Правило 72

Первое упоминание о правиле содержится у Луки Пачоли в его математическом труде «Сумма арифметики, геометрии, дробей, пропорций и пропорциональности», вышедшей в свет в 1494 году. Между тем, Пачоли не приводит расчёт и не объясняет данное правило, что позволяет сделать вывод о том, что оно было известно и ранее.

Сравнение точной кривой и её аппроксимации

«Правило семидесяти» является аппроксимацией посредством гиперболы точной формулы

${\displaystyle T=\log _{1+R}2}$

Разлагая в ряд это выражение при малых R, получим ${\displaystyle T\approx {\frac {\ln 2}{R}}}$. Переходя от R частей целого к процентам (r = R*100), получим ${\displaystyle T\approx {\frac {100\ln 2}{r}}}$. Так как ln 2 ≈ 0,693147, то наиболее точным при использовании малых процентов среди целых чисел является числитель 69.

Две кривые, задаваемые этими функциями, достаточно хорошо совпадают (см. рисунок).

Абсолютная ошибка «правила семидесяти»

Относительная ошибка «правила семидесяти»

Абсолютная погрешность при использовании «правила семидесяти» не превышает четырёх месяцев, если только годовой процент r > 1,01 %.

При r = 2% точная формула и «правило семидесяти» дают почти идентичные результаты.

Относительная погрешность, начиная с r = 2% и выше, непрерывно растёт, достигая 9.86 % при r = 25%.

В таблице представлены погрешности разных методов в зависимости от процентной ставки.

Жирным шрифтом выделена погрешность менее 10 %.

При сравнении реальной формулы с приближённой (с числителем 70) при ставке 10% погрешность в днях составит 100 дней, а максимальное её значение не превысит 113 дней при ставке 41,024%, после чего снижается. Поэтому на практике, когда важна точность до двух-трёх знаков после запятой, и при использовании ставок выше 10% - можно пользоваться модифицированной версией формулы, также лёгкой для запоминания:

${\displaystyle T\approx {\frac {70}{r}}+{\frac {100}{365}}}$

Правило семидесяти может использоваться не только для оценки роста денежной суммы, но также для любых других процессов, описываемых экспоненциальной зависимостью.

Срок при этом не обязан исчисляться в годах; нужно только, чтобы коэффициент ${\displaystyle r}$ говорил об изменении величины за ту же единицу времени, в каких измеряется период удвоения ${\displaystyle T}$.

Кроме того, величина не обязана увеличиваться, она может уменьшаться на r процентов за единицу времени. Тогда оценивается срок не удвоения величины, а уменьшения её вдвое.

Примеры:

1. Оценка срока, в течение которого цены вырастут вдвое в результате инфляции, если за год они растут на r процентов.
2. Тактовая частота процессоров растет в среднем на r процентов в месяц. Через сколько месяцев эта частота удвоится? (см. закон Мура)
3. За тысячелетие количество радиоактивного материала в слитке падает на r процентов. Через какое время количество радиоактивного материала сократится вдвое? (см. Закон радиоактивного распада)

• Правило 78