Правило Тициуса — Боде

Правило формулируется следующим образом.

Последовательность ${\displaystyle D_{i}}$ — геометрическая прогрессия, кроме первого числа. То есть, ${\displaystyle D_{-1}=0;D_{i}=3\cdot 2^{i},i\geqslant 0}$.

Эту же формулу можно записать по-другому:

${\displaystyle R_{-1}=0{,}4,}$

${\displaystyle R_{i}=0{,}4+0{,}3\cdot 2^{i}.}$

Встречается также другая формулировка:

Результаты вычислений приведены в таблице[1] (где ${\displaystyle k_{i}=D_{i}/3=0,1,2,4,...}$). Видно, что этой закономерности соответствует и пояс астероидов, а Нептун, напротив, из закономерности выпадает, причём его место занимает Плутон, хотя он, согласно решению XXVI Ассамблеи МАС исключён из числа планет.

Планета	${\displaystyle i}$	${\displaystyle k_{i}}$	Радиус орбиты (а.е.)		${\displaystyle {\frac {R_{i}-R_{\text{☿}}}{R_{i-1}-R_{\text{☿}}}}}$
			по правилу	фактический
Меркурий	${\displaystyle -\infty }$	0	0,4	0,39
Венера	0	1	0,7	0,72
Земля	1	2	1,0	1,00	1,825
Марс	2	4	1,6	1,52	1,855
Пояс астероидов	3	8	2,8	в сред. 2,2—3,6	2,096 (по орбите Цереры)
Юпитер	4	16	5,2	5,20	2,021
Сатурн	5	32	10,0	9,54	1,9
Уран	6	64	19,6	19,22	2,053
Нептун	выпадает			30,06	1,579
Плутон	7	128	38,8	39,5	2,078 (по отношению к Урану)
Эрида	8	256	77,2	67,7

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркурия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания до тех пор, пока в 1781 году не был открыт Уран, который почти точно лёг на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером. Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета, была обнаружена Церера. Это вызвало большое доверие к правилу Тициуса — Боде среди астрономов, которое сохранялось до открытия Нептуна. Когда выяснилось, что, кроме Цереры, примерно на том же расстоянии от Солнца находится множество тел, формирующих пояс астероидов, была выдвинута гипотеза, что они образовались в результате разрушения планеты (Фаэтона), которая раньше находилась на этой орбите.

Правило не имеет конкретного математического и аналитического (через формулы) объяснения, основанного только на теории гравитации, так как не существует общих решений так называемой «задачи трёх тел» (в простейшем случае), или «задачи N тел» (в общем случае). Прямое численное моделирование также затруднено огромным объёмом вычислений.

Одно из вероятных объяснений правила заключается в следующем. Уже на стадии формирования Солнечной системы в результате гравитационных возмущений, вызванных протопланетами и их резонансом с Солнцем (при этом возникают приливные силы, и энергия вращения тратится на приливное ускорение или, скорее, замедление), сформировалась регулярная структура из чередующихся областей, в которых могли или не могли существовать стабильные орбиты согласно правилам орбитальных резонансов (то есть отношение радиусов орбит соседних планет равных 1/2, 3/2, 5/2, 3/7 и т. п.).[2] Впрочем, часть астрофизиков полагает, что это правило — всего лишь случайное совпадение.

Резонансным орбитам сейчас в основном соответствуют планеты или группы астероидов, которые постепенно (за десятки и сотни миллионов лет) выходили на эти орбиты. В случаях, когда планеты (а также астероиды и планетоиды за Плутоном) не расположены на стабильных орбитах (как Нептун) и не расположены в плоскости эклиптики (как Плутон), наверняка в ближайшем (относительно сотен миллионов лет) прошлом имели место инциденты, нарушавшие их орбиты (столкновение, близкий пролёт массивного внешнего тела). Со временем (быстрее к центру системы и медленнее на окраинах системы) они неизбежно займут стабильные орбиты, если им не помешают новые инциденты.

Пояс Койпера и орбитальные резонансы

Наличие стабильных орбит, вызванных резонансами между телами системы, впервые численно смоделировано (компьютерная симуляция движения точечных взаимодействующих масс вокруг резонирующего центра — Солнца, представленного как две точечные массы с упругой связью) и приведено в сравнении с реальными астрономическими данными в работах 1998—1999 годов профессора Рену Малхотра.

Само существование резонансных орбит и само явление орбитального резонанса в нашей планетной системе подтверждается экспериментальными данными по распределению астероидов по радиусу орбиты и плотности объектов KBO пояса Койпера по радиусу их орбиты.

Сравнивая структуру стабильных орбит планет Солнечной системы с электронными оболочками простейшего атома, можно обнаружить некоторое подобие, хотя в атоме переход электрона происходит практически мгновенно только между стабильными орбитами (электронными оболочками), а в планетарной системе выход небесного тела на стабильные орбиты занимает десятки и сотни миллионов лет.

Три планеты Солнечной системы — Юпитер, Сатурн и Уран — имеют систему спутников, которые, скорее всего, сформировались в результате таких же процессов, как и в случае самих планет. Эти системы спутников образуют регулярные структуры, на основе орбитальных резонансов, которые, правда, не подчиняются правилу Тициуса — Боде в его первоначальном виде. Однако, как выяснил в 1960-е годы астроном Стэнли Дермотт (англ. Stanley Dermott), можно немного обобщить правило Тициуса — Боде:

${\displaystyle T(n)=T(0)\cdot C^{n},\quad n=1,2,3,4\ldots ,}$

где ${\displaystyle T}$ — орбитальный период (дней). Оценку точности формулы Дермотта для системы спутников Юпитера, Сатурна и Урана: представляют следующие таблицы (см. fr:Loi de Dermott):

• Юпитер: T(0) = 0,444, C = 2,03

• Сатурн: T(0) = 0,462, C = 1,59

• Уран: T(0) = 0,488, C = 2,24

Тимоти Боверд (англ. Timothy Bovaird) и Чарльз Лайнвивер (Charles H. Lineweaver) из Австралийского национального университета проверили[3] применимость правила к экзопланетным системам (2013 год). Из известных систем, содержащих по четыре открытых планеты, они отобрали 27 таких, для которых добавление дополнительных планет между известными нарушало бы стабильность системы. Считая отобранные кандидаты полными системами, авторы показали, что для них выполняется обобщённое правило Тициуса — Боде, аналогичное предложенному Дермоттом:

${\displaystyle R_{i}=R\cdot C^{i},\quad i=0,1,2,3,...,}$

где R и C — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение к наблюдаемому распределению.

Было обнаружено, что из 27 отобранных для анализа систем 22 системы удовлетворяют взаимным соотношениям радиусов орбит даже лучше, чем Солнечная система, 2 системы подходят под правило примерно как Солнечная, у 3 систем правило работает хуже Солнечной.

Для 64 систем, которые по выбранному критерию не были полными, авторы попытались предсказать орбиты ещё не открытых планет. Всего ими сделано 62 предсказания с помощью интерполяции (в 25 системах) и 64 — с помощью экстраполяции. Оценка максимальных масс планет, сделанная по чувствительности приборов, с помощью которых были открыты эти системы экзопланет, показывает, что некоторые из предсказанных планет должны быть земного типа.

Согласно проверке Chelsea X. Huang и Gáspár Á. Bakos (2014 г.), фактически обнаруживаемое количество планет на таких орбитах существенно ниже предсказанного и, таким образом, использование соотношения Тициуса — Боде для заполнения «недостающих» орбит — под вопросом[4]: на предсказываемых орбитах планеты образуются не всегда.

Согласно уточнённой проверке M. B. Altaie, Zahraa Yousef, A. I. Al-Sharif (2016 г.), для 43 экзопланетных систем, содержащих четыре или более планеты, соотношение Тициуса — Боде выполняется с высокой точностью при условии изменения масштабов радиусов орбит. Исследование также подтверждает масштабную инвариантность закона Тициуса — Боде[5].

Правило Тициуса — Боде входит в некоторое противоречие с моделью Ниццы. Модель описывает формирование Солнечной системы с учётом миграции планет и предполагает, что они не всегда занимали современное положение. Следовательно, должны были существовать периоды (по меньшей мере переходные), когда положение планет не укладывалось в уравнение.

• Ньето М. Закон Тициуса — Боде. История и теория. М.: Мир, 1976.
• Планетарные орбиты и протон. «Наука и жизнь» № 1, 1993. С. 155.
• Hahn, J. M., Malhotra, R. Orbital evolution of planets embedded in a massive planetesimal disk, AJ 117:3041—3053 (1999)
• Malhotra, R. Migrating Planets, Scientific American 281(3):56—63 (1999)
• Malhotra, R. Chaotic planet formation, Nature 402:599—600 (1999)
• Malhotra, R. Orbital resonances and chaos in the Solar system, in Solar System Formation and Evolution, Rio de Janeiro, Brazil, ASP Conference Series vol. 149 (1998). Preprint
• Showman, A., Malhotra, R. The Galilean Satellites, Science 286:77 (1999)

• Правило XVIII века в большинстве планетарных систем выполняется лучше, чем в Солнечной
• Malhotra’s research spans orbital dynamics in the solar system and in extra-solar planetary systems (недоступная ссылка) (англ.)
• Анимация графики распределения астероидов по орбитам (англ.)