Правило Тициуса — Боде

Правило Ти́циуса — Бо́де (известно также как закон Бо́де) представляет собой эмпирическую формулу, приблизительно описывающую расстояния между планетами Солнечной системы и Солнцем (средние радиусы орбит). Правило было предложено Иоганном Тициусом в 1766 году и получило известность благодаря работам Иоганна Боде в 1772 году.

И. Д. Тициус
И. Э. Боде

Формулировка

Правило формулируется следующим образом.

К каждому элементу последовательности прибавляется 4, затем результат делится на 10. Полученное число считается радиусом орбиты i-й планеты в астрономических единицах. То есть,

Последовательность  — геометрическая прогрессия, кроме первого числа. То есть, .

Эту же формулу можно записать по-другому:

Встречается также другая формулировка:

Для любой планеты среднее расстояние от её орбиты до орбиты самой внутренней планеты (в Солнечной системе — Меркурия) в два раза больше, чем среднее расстояние от орбиты предыдущей планеты до орбиты самой внутренней планеты:

Результаты вычислений приведены в таблице[1] (где ). Видно, что этой закономерности соответствует и пояс астероидов, а Нептун, напротив, из закономерности выпадает, причём его место занимает Плутон, хотя он, согласно решению XXVI Ассамблеи МАС исключён из числа планет.

Планета Радиус орбиты (а.е.)
по правилу фактический
Меркурий 0 0,4 0,39
Венера 0 1 0,7 0,72
Земля 1 2 1,0 1,00 1,825
Марс 2 4 1,6 1,52 1,855
Пояс астероидов 3 8 2,8 в сред. 2,2—3,6 2,096 (по орбите Цереры)
Юпитер 4 16 5,2 5,20 2,021
Сатурн 5 32 10,0 9,54 1,9
Уран 6 64 19,6 19,22 2,053
Нептун выпадает 30,06 1,579
Плутон 7 128 38,8 39,5 2,078 (по отношению к Урану)
Эрида 8 256 77,2 67,7

Когда Тициус впервые сформулировал это правило, ему удовлетворяли все известные в то время планеты (от Меркурия до Сатурна), имелся лишь пропуск на месте пятой планеты. Тем не менее, правило не привлекло большого внимания до тех пор, пока в 1781 году не был открыт Уран, который почти точно лёг на предсказанную последовательность. После этого Боде призвал начать поиски недостающей планеты между Марсом и Юпитером. Именно в том месте, где должна была располагаться эта планета, была обнаружена Церера. Это вызвало большое доверие к правилу Тициуса — Боде среди астрономов, которое сохранялось до открытия Нептуна. Когда выяснилось, что, кроме Цереры, примерно на том же расстоянии от Солнца находится множество тел, формирующих пояс астероидов, была выдвинута гипотеза, что они образовались в результате разрушения планеты (Фаэтона), которая раньше находилась на этой орбите.

Попытки обоснования

Правило не имеет конкретного математического и аналитического (через формулы) объяснения, основанного только на теории гравитации, так как не существует общих решений так называемой «задачи трёх тел» (в простейшем случае), или «задачи N тел» (в общем случае). Прямое численное моделирование также затруднено огромным объёмом вычислений.

Одно из вероятных объяснений правила заключается в следующем. Уже на стадии формирования Солнечной системы в результате гравитационных возмущений, вызванных протопланетами и их резонансом с Солнцем (при этом возникают приливные силы, и энергия вращения тратится на приливное ускорение или, скорее, замедление), сформировалась регулярная структура из чередующихся областей, в которых могли или не могли существовать стабильные орбиты согласно правилам орбитальных резонансов (то есть отношение радиусов орбит соседних планет равных 1/2, 3/2, 5/2, 3/7 и т. п.).[2] Впрочем, часть астрофизиков полагает, что это правило — всего лишь случайное совпадение.

Резонансным орбитам сейчас в основном соответствуют планеты или группы астероидов, которые постепенно (за десятки и сотни миллионов лет) выходили на эти орбиты. В случаях, когда планеты (а также астероиды и планетоиды за Плутоном) не расположены на стабильных орбитах (как Нептун) и не расположены в плоскости эклиптики (как Плутон), наверняка в ближайшем (относительно сотен миллионов лет) прошлом имели место инциденты, нарушавшие их орбиты (столкновение, близкий пролёт массивного внешнего тела). Со временем (быстрее к центру системы и медленнее на окраинах системы) они неизбежно займут стабильные орбиты, если им не помешают новые инциденты.

Пояс Койпера и орбитальные резонансы

Наличие стабильных орбит, вызванных резонансами между телами системы, впервые численно смоделировано (компьютерная симуляция движения точечных взаимодействующих масс вокруг резонирующего центра — Солнца, представленного как две точечные массы с упругой связью) и приведено в сравнении с реальными астрономическими данными в работах 1998—1999 годов профессора Рену Малхотра.

Само существование резонансных орбит и само явление орбитального резонанса в нашей планетной системе подтверждается экспериментальными данными по распределению астероидов по радиусу орбиты и плотности объектов KBO пояса Койпера по радиусу их орбиты.

Сравнивая структуру стабильных орбит планет Солнечной системы с электронными оболочками простейшего атома, можно обнаружить некоторое подобие, хотя в атоме переход электрона происходит практически мгновенно только между стабильными орбитами (электронными оболочками), а в планетарной системе выход небесного тела на стабильные орбиты занимает десятки и сотни миллионов лет.

Проверка для спутников планет Солнечной системы

Три планеты Солнечной системы — Юпитер, Сатурн и Уран — имеют систему спутников, которые, скорее всего, сформировались в результате таких же процессов, как и в случае самих планет. Эти системы спутников образуют регулярные структуры, на основе орбитальных резонансов, которые, правда, не подчиняются правилу Тициуса — Боде в его первоначальном виде. Однако, как выяснил в 1960-е годы астроном Стэнли Дермотт (англ. Stanley Dermott), можно немного обобщить правило Тициуса — Боде:

где  — орбитальный период (дней). Оценку точности формулы Дермотта для системы спутников Юпитера, Сатурна и Урана: представляют следующие таблицы (см. fr:Loi de Dermott):

СпутникnРезультат расчётаФактически
Jupiter VАмальтея10,90130,4982
Jupiter IИо21,82961,7691
Jupiter IIЕвропа33,71423,5512
Jupiter IIIГанимед47,53997,1546
Jupiter IVКаллисто515,30616,689
Jupiter VIГималия9259,92249,72
СпутникnРезультат расчётаФактически
Saturn IМимас10,73450,9424
Saturn IIЭнцелад21,16801,3702
Saturn IIIТетис31,85711,8878
Saturn IVДиона42,95282,7369
Saturn VРея54,69494,5175
Saturn VIТитан7
8
11,869
18,872
15,945
Saturn VIIIЯпет1175,85979,330
СпутникnРезультат расчётаФактически
Uranus VМиранда11,09311,4135
Uranus IАриэль22,44852,5204
Uranus IIУмбриэль35,48484,1442
Uranus IVОберон413,46312,286

Проверка для экзопланет

Тимоти Боверд (англ. Timothy Bovaird) и Чарльз Лайнвивер (Charles H. Lineweaver) из Австралийского национального университета проверили[3] применимость правила к экзопланетным системам (2013 год). Из известных систем, содержащих по четыре открытых планеты, они отобрали 27 таких, для которых добавление дополнительных планет между известными нарушало бы стабильность системы. Считая отобранные кандидаты полными системами, авторы показали, что для них выполняется обобщённое правило Тициуса — Боде, аналогичное предложенному Дермоттом:

где R и C — параметры, обеспечивающие наилучшее приближение к наблюдаемому распределению.

Было обнаружено, что из 27 отобранных для анализа систем 22 системы удовлетворяют взаимным соотношениям радиусов орбит даже лучше, чем Солнечная система, 2 системы подходят под правило примерно как Солнечная, у 3 систем правило работает хуже Солнечной.

Для 64 систем, которые по выбранному критерию не были полными, авторы попытались предсказать орбиты ещё не открытых планет. Всего ими сделано 62 предсказания с помощью интерполяции (в 25 системах) и 64 — с помощью экстраполяции. Оценка максимальных масс планет, сделанная по чувствительности приборов, с помощью которых были открыты эти системы экзопланет, показывает, что некоторые из предсказанных планет должны быть земного типа.

Согласно проверке Chelsea X. Huang и Gáspár Á. Bakos (2014 г.), фактически обнаруживаемое количество планет на таких орбитах существенно ниже предсказанного и, таким образом, использование соотношения Тициуса — Боде для заполнения «недостающих» орбит — под вопросом[4]: на предсказываемых орбитах планеты образуются не всегда.

Согласно уточнённой проверке M. B. Altaie, Zahraa Yousef, A. I. Al-Sharif (2016 г.), для 43 экзопланетных систем, содержащих четыре или более планеты, соотношение Тициуса — Боде выполняется с высокой точностью при условии изменения масштабов радиусов орбит. Исследование также подтверждает масштабную инвариантность закона Тициуса — Боде[5].

Проблемы теории

Правило Тициуса — Боде входит в некоторое противоречие с моделью Ниццы. Модель описывает формирование Солнечной системы с учётом миграции планет и предполагает, что они не всегда занимали современное положение. Следовательно, должны были существовать периоды (по меньшей мере переходные), когда положение планет не укладывалось в уравнение.

Примечания

  1. Александр Березин. Новости науки.
  2. Правило Тициуса—Боде. Дата обращения: 12 января 2011. Архивировано 25 августа 2011 года.
  3. Timothy Bovaird, Charles H. Lineweaver. Exoplanet Predictions Based on the Generalised Titius-Bode Relation.
  4. [1405.2259] Testing the Titius-Bode law predictions for Kepler multi-planet systems.
  5. M. B. Altaie, Zahraa Yousef, A. I. Al-Sharif. Applying Titius-Bode’s Law on Exoplanetry Systems.

Литература

  • Ньето М. Закон Тициуса — Боде. История и теория. М.: Мир, 1976.
  • Планетарные орбиты и протон. «Наука и жизнь» № 1, 1993. С. 155.
  • Hahn, J. M., Malhotra, R. Orbital evolution of planets embedded in a massive planetesimal disk, AJ 117:3041—3053 (1999)
  • Malhotra, R. Migrating Planets, Scientific American 281(3):56—63 (1999)
  • Malhotra, R. Chaotic planet formation, Nature 402:599—600 (1999)
  • Malhotra, R. Orbital resonances and chaos in the Solar system, in Solar System Formation and Evolution, Rio de Janeiro, Brazil, ASP Conference Series vol. 149 (1998). Preprint
  • Showman, A., Malhotra, R. The Galilean Satellites, Science 286:77 (1999)

Ссылки

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.