Пороговый граф

Эквивалентное определение следующее: граф является пороговым, если существует вещественное число ${\displaystyle S}$ и для каждой вершины ${\displaystyle v}$ задан вес ${\displaystyle w(v)}$, такой, что для любых двух вершин ${\displaystyle v,u}$, ${\displaystyle uv}$ является ребром тогда и только тогда, когда ${\displaystyle w(u)+w(v)>S}$.

Другое эквивалентное определение: граф является пороговым, если существует вещественное число ${\displaystyle T}$ и для каждой вершины ${\displaystyle v}$ задан вес ${\displaystyle a(v)}$, такой, что для любого множества вершин ${\displaystyle X\subseteq V}$, ${\displaystyle X}$ является независимым тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \sum _{v\in X}a(v)\leq T.}$

Название "пороговый граф" пришёл из определения: S является "порогом" для свойства иметь ребро, или, эквивалентно, T является порогом для множества быть независимым.

Из определения, использующего последовательное добавление вершин, можно получить альтернативный путь уникального описания порогового графа в смысле строки символов. ${\displaystyle \epsilon }$ всегда служит первым символом строки и представляет первую вершину графа. Каждый последующий символ будет либо ${\displaystyle u}$, который означает изолированную вершину, либо ${\displaystyle j}$, который означает добавление доминирующей вершины. Например, строка ${\displaystyle \epsilon uuj}$ представляет звезду с тремя листьями, а ${\displaystyle \epsilon uj}$ представляет путь из трёх вершин. Граф на рисунке можно представить строкой ${\displaystyle \epsilon uuujuuj}$

Пороговые графы являются специальным случаем Кографов, расщепляемых графов и тривиально совершенных графов[4]. Любой граф, являющийся одновременно кографом и расщепляемым графом, является пороговым. Любой граф, являющийся одновременно тривиально совершенным графом и дополнением тривиально совершенного графа, является пороговым графом. Пороговые графы являются также специальным случаем интервальных графов. Все эти связи могут быть объяснены в терминах их характеризации запрещёнными порождёнными подграфами. Кограф — это граф с отсутствием порождённых путей с четырьмя вершинами, P₄, а пороговые графы — это графы баз порождённых подграфов P₄, C₄ или 2K₂ [5]. C₄ — это цикл из четырёх вершин , а 2K₂ — его дополнение, то есть два раздельных ребра. Это также объясняет, почему пороговые графы замкнуты по взятию дополнения. P₄ является самодополнительным, а потому, если граф не содержит порождённые подграфы P₄, C₄ и 2K₂, его дополнение тоже не будет их иметь [6].

Хеггернес и др. показали, что пороговые графы могут быть распознаны за линейное время. Если граф не является пороговым, препятствие в виде P₄, C₄ или 2K₂ будет указано.

• Индифферентный граф
• Параллельно-последовательный граф

• В.А.Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич. Лекции по теории графов. — Москва: «Наука», 1990. — ISBN 5-02-013992-0. §50. Пороговые графы
• Václav Chvátal, Peter Ladislaw Hammer. Studies in Integer Programming (Proc. Worksh. Bonn 1975) / P. L. Hammer, E. L. Johnson, B. H. Korte, G. L. Nemhauser. — Amsterdam: North-Holland, 1977. — Т. 1. — С. 145–162. — (Annals of Discrete Mathematics)..
• Martin Charles Golumbic. Algorithmic Graph Theory and Perfect Graphs. — New York: Academic Press, 1980.. 2nd edition, Annals of Discrete Mathematics, 57, Elsevier, 2004.
• N. V. R. Mahadev, Uri N. Peled. Threshold Graphs and Related Topics. — Elsevier, 1995..

• Threshold graphs, Information System on Graph Classes and their Inclusions.