Полуинвариант (теория вероятностей)

Полуинварианты, в отличие от моментов, не могут быть определены напрямую через функцию распределения p(x). Их определяют либо через логарифм характеристической функции G(u), либо через моменты μ (второе определение, на самом деле, вытекает из первого). Формально, полуинварианты определяются как коэффициенты в разложении в ряд МакЛорена логарифма характеристической функции аналогично тому, как определяются моменты для самой характеристической функции:

${\displaystyle \ln G(u)\,=\,iu\kappa _{1}+{\frac {(iu)^{2}}{2!}}\kappa _{2}+\ldots +{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}+\ldots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}}$

Единственное отличие состоит в том, что первый член этого ряда полагается равным 0, а не 1 как в случае моментов. Таким образом, логарифм характеристической функции является производящей функцией для полуинвариантов, его иногда называют второй характеристической функцей и обозначают:

${\displaystyle \varphi (u)\,\equiv \,\ln G(u).}$

Интерес к этой функции обусловлен тем, что она аддитивна для независимых случайных величин, то есть для суммы таких величин она равна сумме соответствующих функций для каждой величины:

${\displaystyle \ln G(a+b)=\ln G(a)+\ln G(b).}$

Это с очевидностью следует из того факта, что характеристическая функция мультипликативна по независимым случайным величинам (равна произведению соответствующих функций). Это же свойство, как следствие, присуще полуинвариантам: в частности, поскольку первым и вторым полуинвариантом случайной величины служат её математическое ожидание и дисперсия, то для суммы независимых случайных величин они соответственно равны сумме математических ожиданий или дисперсий самих величин. (Это верно и для третьего центрального момента, который поэтому совпадает с третьим полуинвариантом. Для четвёртых и более высоких центрированных моментов это равенство уже не выполняется.) Указанное свойство упрощает работу с кумулянтами, так как для них, в отличие от моментов распределения суммы независимых случайных величин, имеющих достаточно громоздкое выражение через моменты самих величин, выражение через полуинвариатны слагаемых весьма просто.

Из определения ряда МакЛорена полуинвариант порядка n определяется как:

${\displaystyle \kappa _{n}\,=\,(-i)^{n}\left.{\frac {\,\partial ^{n}\varphi }{\,\partial u^{n}}}\right|_{u=0}.}$

В частности, для первого полуинварианта имеем:

${\displaystyle \kappa _{1}\,=\,-i\left.{\frac {\,\partial \varphi }{\,\partial u}}\right|_{u=0}\,=\,-i\left.{\frac {G'_{u}}{\,G(u)}}\right|_{u=0}.}$

Выведем теперь альтернативное определение полуинварианта через моменты. Разлагая характеристическую функцию G(u) в ряд МакЛорена через моменты, можно переписать первую формулу в следующем виде:

${\displaystyle \ln \left\{1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\mu _{n}\right\}\,=\,\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}}$

Разлагая и логарифм в ряд МакЛорена и предполагая, что условия на его радиус сходимости выполняются, мы получим:

${\displaystyle \sum \limits _{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1}{\frac {\displaystyle \left(\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\mu _{n}\right)^{\!\!m}}{m}}\,=\,\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {(iu)^{n}}{n!}}\kappa _{n}}$

Приравнивая коэффициенты при равных степенях iu в суммах слева и справа, получаем:

${\displaystyle {\begin{cases}\kappa _{1}=\mu _{1}\\[1mm]\kappa _{2}=-\mu _{1}^{2}+\mu _{2}\\[1mm]\kappa _{3}=2\mu _{1}^{3}-3\mu _{1}\mu _{2}+\mu _{3}\\[1mm]\;\ldots \end{cases}}}$

Интересный метод основанный на производной для более простого отыскания этих взаимоотношений, а также эти выражения для более высоких порядков описаны у Кендалла. Он также даёт общую формулу для отысканий моментов через полуинварианты и обратно, эта же формула встречается и у Ширяева. Кстати, эту общую формулу в некоторой литературе так и называют формулой Ширяева—Леонтьева, хотя по всей видимости они не были первыми, кто её вывели.