Поверхность Дарбу

Пове́рхность Дарбу́ — двумерная поверхность F² в трёхмерном евклидовом пространстве E³, на которой определен и тождественно равен нулю тензор Дарбу.

Тензор Дарбу — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определённый на поверхности F² с ненулевой гауссовой кривизной K в E³.

Компоненты тензора Дарбу ${\displaystyle \Theta }$ вычисляются по формулам:

${\displaystyle \Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ — коэффициенты второй квадратичной формы, K — гауссова кривизна, а ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij}}$ и ${\displaystyle \nabla _{m}K}$ — их ковариантные производные.

К этому тензору в специальных координатах впервые пришёл Г. Дарбу[1].

Обращение в ноль тензора Дарбу характеризует поверхности Дарбу в E³ — двумерные поверхности второго порядка, не развертывающиеся на плоскость[2].

Другое важное свойство поверхностей Дарбу связано с теорией бесконечно малых изгибаний поверхностей. Так, поверхности Дарбу положительной гауссовой кривизны K>0 в E³ характеризуются тем свойством, что система уравнений бесконечно малых изгибаний на них и только на них сводится к системе уравнений Коши — Римана[3].

Естественным обобщением поверхностей Дарбу являются n-мерные подмногообразия с циклически рекуррентной второй фундаментальной формой в (n+p)-мерных пространствах постоянной кривизны[4].

Всякая циклически рекуррентная поверхность F² с ненулевой гауссовой кривизной K в трехмерном евклидовом пространстве E³ локально есть поверхность Дарбу[5].

• Теорема Бонне. На поверхности Дарбу в трёхмерном евклидовом пространстве вдоль каждой линии кривизны соответствующая ей главная кривизна пропорциональна кубу другой главной кривизны[6].