Тензор Дарбу

Компоненты те́нзора Дарбу́ ${\displaystyle \Theta }$ двумерной поверхности F² с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве E³ вычисляются по формулам:

${\displaystyle \Theta _{ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{4K}},\quad i,j,m=1,2,}$

где ${\displaystyle b_{ij}}$ — коэффициенты второй квадратичной формы, ${\displaystyle K\neq 0}$ — гауссова кривизна, а ${\displaystyle \nabla _{m}b_{ij}}$ и ${\displaystyle \nabla _{m}K}$ — их ковариантные производные.

С тензором Дарбу[1] связана кубическая дифференциальная форма

${\displaystyle \Theta _{ijm}du^{i}du^{j}du^{m}=\nabla _{m}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}-{\frac {3\nabla _{m}K}{4K}}b_{ij}du^{i}du^{j}du^{m}.}$

Эта форма, отнесенная к кривой на поверхности, называется инвариантом Дарбу.

Кривая, в каждой точке которой инвариант Дарбу равен нулю, называется линией Дарбу[2].

Обобщенный тензор Дарбу гиперповерхности — это трижды ковариантный симметрический тензор третьего порядка, определенный на n-мерной гиперповерхности Fⁿ с ненулевой гауссовой кривизной K в евклидовом пространстве Eⁿ⁺¹[3]. Компоненты обобщенного тензора Дарбу ${\displaystyle \Theta _{(n)}}$ гиперповерхности вычисляются по формулам[4]:

${\displaystyle \Theta _{(n)ijm}=\nabla _{m}b_{ij}-{\frac {b_{ij}\nabla _{m}K+b_{mi}\nabla _{j}K+b_{jm}\nabla _{i}K}{(n+2)K}},\quad i,j,m=1,2,...,n.}$

Гиперповерхность Fⁿ в евклидовом пространстве Eⁿ⁺¹, на которой определен и тождественно равен нулю обобщенный тензор Дарбу, называется обобщенной гиперповерхностью Дарбу в Eⁿ⁺¹.