Плоскость Немыцкого

Плоскость Немыцкого — общетопологический пример совершенного пространства, не являющегося нормальным[1]. Обозначается, как правило, .

Определена Александровым и Хопфом в 1935 году и используется в курсах по общей топологии как «универсальный контрпример»[2]: дидактическая ценность её в том, что благодаря простоте построения плоскость Немыцкого может быть наглядно представлена студентам на первых же лекциях по общей топологии, и в дальнейшем использоваться как сквозной пример для всего курса.

Построение

Строится как подпространство плоскости с точками , где с изменением топологии в точках : база окрестностей таких точек — открытые круги и сама точка , где  — круг радиуса с центром в точке .

Отсутствие нормальности вытекает из такого же наглядного замечания, как и в случае с квадратом стрелки:  — сепарабельное пространство с несчётным замкнутым дискретом (ось абсцисс имеет даже мощность континуума).

Свойства

Плоскость Немыцкого является связным, сепарабельным () и нелинделёфовым (), вещественно полным пространством[3]. Его клеточность и характер счётны (, ), а вес — несчётен (). При этом не является счётно паракомпактным[4], слабо паракомпактным[5], локально компактным пространством.

Примечания

Литература

  • Энгелькинг, Рышард. Общая топология. М.: Мир, 1986. — С. 48,50,54,60,63,68,86,118,122,293. — 752 с.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.