Плазменные волны в графене

Кинетическое уравнение для электронов в графене в бесстолкновительном приближении запишется в виде

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v} _{p}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+e{\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {r} }}{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0.\qquad (4.1)}$

Здесь функция распределения электронов ${\displaystyle f=f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ зависит от координат, импульсов и времени. ${\displaystyle \phi =\phi (\mathbf {r} ,t)}$ — потенциал создаваемый ДЭГ. Так как графен двумерная система, то вектор импульса имеет только две координаты ${\displaystyle \mathbf {p} =(p_{x},p_{y})}$. Также скорость электронов задаётся формулой ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathbf {p} }=v_{F}{\frac {\mathbf {p} }{p}}}$, где ${\displaystyle p=|\mathbf {p} |}$.

Уравнение Пуассона, которое связывает концентрацию и распределение потенциала в графене, можно свести к уравнению

${\displaystyle {\frac {V_{g}-\phi }{W_{g}}}={\frac {4\pi e}{\varepsilon }}\Sigma ,\qquad (4.2)}$

где ${\displaystyle V_{g}}$ — приложенное напряжение на затворе, которым можно управлять концентрацией, ${\displaystyle W_{g}}$ — толщина диэлектрика с диэлектрической проницаемостью ${\displaystyle \varepsilon }$, а концентрация электронов ${\displaystyle \Sigma }$ задаётся по формуле

${\displaystyle \Sigma ={\frac {g_{s}g_{v}}{(2\pi \hbar )^{2}}}\int {d^{2}\mathbf {p} f},\qquad (4.3)}$

которая аналогична выражению (3.3).

Совместное решение уравнений (4.1) и (4.2) в виде плоских даёт ответ на вопрос о плазменных волнах в графене.

Решение уравнения (4.1) ищется в виде

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=f_{0}+\delta f(p)e^{i(kx-\omega t)},\qquad (4.4)}$

где к равновесной функции распределения (распределение Ферми — Дирака) добавляется малая поправка в виде плоской волны (${\displaystyle |\delta f|\ll f_{0}}$). Потенциал также является малым возмущением (по сравнению с ${\displaystyle V_{g}}$)

${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=\delta \phi e^{i(kx-\omega t)}.\qquad (4.5)}$

При подстановки решений (4.4) и (4.5) в (4.1) и (4.2) приходим к уравнениям на ${\displaystyle \delta f(p)}$ и ${\displaystyle \delta \phi }$ с точностью до первого порядка малости

${\displaystyle \left(kv_{F}{\frac {p_{x}}{p}}-\omega \right)\delta f=-ek{\frac {\partial f_{0}}{\partial p_{x}}}\delta \phi ,\qquad (4.6)}$

${\displaystyle \delta \phi =-{\frac {2eW_{g}}{\pi \varepsilon \hbar ^{2}}}\int {d^{2}\mathbf {p} f}.\qquad (4.7)}$

Эти уравнения легко решаются если электронный газ вырожден, то есть ${\displaystyle k_{B}T\ll E_{F}}$. Для ${\displaystyle \omega >v_{F}k}$ получим линейное дисперсионное соотношение для плазменных волн в графене

${\displaystyle \omega ={\frac {kv_{F}}{\sqrt {1-\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{2}}}}=ks,\qquad (4.7)}$

где

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {\frac {4g_{s}g_{v}e^{3}W_{g}V_{g}}{\varepsilon \hbar ^{2}v_{F}^{2}}}}.\qquad (4.8)}$.

Фазовая и групповая скорости равны

${\displaystyle s={\frac {v_{F}}{\sqrt {1-\left({\frac {\alpha }{\alpha +1}}\right)^{2}}}}.\qquad (4.9)}$

Учёт конечных температур и, соответственно, термически возбуждённых дырок рассмотрен в работе [2].

• Графен