Периодическое состояние

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$ с матрицей переходных вероятностей ${\displaystyle P}$. В частности, для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, матрица ${\displaystyle P^{n}=\left(p_{ij}^{(n)}\right)}$ является матрицей переходных вероятностей за ${\displaystyle n}$ шагов. Рассмотрим последовательность ${\displaystyle p_{jj}^{(n)},\,n\in \mathbb {N} }$. Число

${\displaystyle d(j)=\gcd \left(n\in \mathbb {N} \mid p_{jj}^{(n)}>0\right)}$,

где ${\displaystyle \gcd }$ обозначает наибольший общий делитель, называется пери́одом состояния ${\displaystyle j}$.

Таким образом, период состояния ${\displaystyle j}$ равен ${\displaystyle d(j)}$, если из того, что ${\displaystyle p_{jj}^{(n)}>0}$, следует, что ${\displaystyle n}$ делится на ${\displaystyle d(j)}$.

• Если ${\displaystyle d(j)>1}$, то состояние ${\displaystyle j}$ называется периоди́ческим. Если ${\displaystyle d(j)=1}$, то состояние ${\displaystyle j}$ называется апериоди́ческим.

• Периоды сообщающихся состояний совпадают:

${\displaystyle (i\leftrightarrow j)\Rightarrow (d(i)=d(j))}$.

Таким образом период любого неразложимого класса цепи Маркова определён и равен периоду любого своего представителя. Соответственно, классы делятся на периодические и апериодические.

• Если цепь Маркова неразложима, то периоды всех её состояний совпадают и принимаемое ими общее значение называется периодом цепи. Цепь называется периодической, если её период больше единицы, и апериодической в противном случае.