Парадокс Белла

В версии Белла два космических корабля, вначале покоящиеся относительно некоторой инерциальной системы отсчёта (ИСО), соединяются натянутой до предела струной. В нулевой момент времени по часам соответствующей ИСО оба корабля начинают ускоряться с постоянным собственным ускорением ${\displaystyle g}$, измеряемым размещёнными на борту каждого корабля акселерометрами. Вопрос состоит в том, разорвётся ли струна?

В соответствии со мнением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта, в которой изначально корабли покоились, расстояние между ними будет оставаться неизменным, но длина струны будет испытывать релятивистское сокращение, так что в некоторый момент времени струна разорвётся. В формулировке Белла это представлено следующим образом[4]:

Против такого решения проблемы были выдвинуты возражения, которые затем, в свою очередь, были подвергнуты критике. Например, Пол Нороки (англ. Paul Nawrocki) предполагал, что струна не должна разорваться[5], в то время как Эдмонд Деван (англ. Edmond Dewan) защищал свою исходную точку зрения в ответной работе[6]. Белл писал, что он встретил сдержанный скептицизм «одного известного экспериментатора» в ответ на своё изложение парадокса. Для того, чтобы разрешить спор, было проведено неформальное совещание теоретического отдела ЦЕРНа. Белл утверждает, что «ясным общим мнением» отдела стало признание того, что струна не должна разорваться. Далее Белл добавляет: «Конечно, многие люди, получившие сначала неправильный ответ, дошли до верного путём дальнейших рассуждений»[1]. Позже, в 2004 году, Мацуда и Киносита[7] писали, что опубликованная ими в японском журнале работа, содержащая независимо переоткрытый вариант парадокса, была сильно раскритикована. Авторы, однако, не дают ссылок на критические работы, утверждая только, что они были написаны на японском языке.

В дальнейшем анализе будем рассматривать космические корабли как точечные тела и рассматривать только длину струны. Анализ относится к случаю, когда корабли заглушают двигатели после некоторого промежутка времени ${\displaystyle T}$. Будут использоваться галилеевы координаты во всех инерциальных системах отсчёта.

Разрыв струны между кораблями, которые начинают двигаться с ускорением.

В соответствии с изложением Девана и Берана, а также Белла, в системе отсчёта «стартовых площадок» (относительно которой корабли покоились до начала работы двигателей и которую мы будем называть СО ${\displaystyle S}$) расстояние ${\displaystyle L}$ между кораблями ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ должно оставаться постоянным «по определению».

Это можно проиллюстрировать следующим образом. Смещение кораблей относительно своих исходных позиций — вдоль оси ${\displaystyle X}$ СО ${\displaystyle S}$ — как функция времени может быть записана в виде ${\displaystyle f(t)}$. Эта функция, вообще говоря, зависит от функции тяги двигателей, но важно, что она одинакова для обоих космических кораблей. Поэтому положение каждого корабля как функция времени будет:

${\displaystyle x_{A}=a_{0}+f(t),\quad x_{B}=b_{0}+f(t),}$

где

${\displaystyle f(t)}$ при ${\displaystyle t<0}$ равна 0 и непрерывна при всех значениях ${\displaystyle t}$;

${\displaystyle x_{A}}$ — положение (${\displaystyle x}$-координата) корабля ${\displaystyle A}$;

${\displaystyle x_{B}}$ — положение (${\displaystyle x}$-координата) корабля ${\displaystyle B}$;

${\displaystyle a_{0}}$ — положение корабля ${\displaystyle A}$ при ${\displaystyle t=0}$;

${\displaystyle b_{0}}$ — положение корабля ${\displaystyle B}$ при ${\displaystyle t=0}$.

Из этого ${\displaystyle x_{A}-x_{B}=a_{0}-b_{0}}$ что является постоянной величиной, не зависящей от времени. Такой аргумент справедлив для всех типов синхронного движения.

Таким образом, знание детального вида ${\displaystyle f(t)}$ не является необходимым для дальнейшего анализа. Отметим, однако, что форма ${\displaystyle f(t)}$ для постоянного собственного ускорения хорошо известна (см. гиперболическое движение).

Мировые линии двух наблюдателей A и B, которые начинают двигаться в одном направлении с постоянным ускорением. В точках A' и B' наблюдатели прекращают ускорение. Пунктирная линия является «линией одновременности» для наблюдателя A. Является ли пространственный отрезок A′B″ более длинным, чем отрезок AB?

Рассматривая пространственно-временную диаграмму (справа), можно заметить, что космические корабли прекратят ускоряться в событиях ${\displaystyle A'}$ и ${\displaystyle B'}$, которые одновременны в СО ${\displaystyle S}$. Очевидно также, что эти события не одновременны в СО, сопутствующей кораблям. Это является примером относительности одновременности.

Из предыдущего ясно, что длина линии ${\displaystyle A'B'}$ равна длине ${\displaystyle AB}$, которая, в свою очередь, совпадает с начальным расстоянием ${\displaystyle L}$ между кораблями. Также очевидно, что скорости кораблей ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ в СО ${\displaystyle S}$ после окончания фазы ускоренного движения равны ${\displaystyle v}$. Наконец, собственное расстояние между космическими кораблями ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ после окончания фазы ускоренного движения будет равно расстоянию в сопутствующей ИСО и равно длине линии ${\displaystyle A'B''}$. Эта линия является линией постоянного ${\displaystyle t'}$ — временной координаты сопутствующей системы отсчёта, которая связана с координатами в СО ${\displaystyle S}$ преобразованиями Лоренца:

${\displaystyle t'={\frac {\left(t-vx/c^{2}\right)}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

${\displaystyle A'B''}$ представляет собой линию, взятую одновременно относительно СО космических кораблей, то есть — для них — чисто пространственную. Так как интервал является инвариантом относительно преобразований СО, можно вычислить его в любой удобной системе отсчёта, в данном случае в ${\displaystyle S}$.

Математически через координаты в СО ${\displaystyle S}$ вышеизложенные соображения записываются так:

${\displaystyle t_{B'}=t_{A'}\,,}$

${\displaystyle x_{B}-x_{A}=x_{B'}-x_{A'}=L\,,}$

${\displaystyle x_{B''}-x_{B'}=v\left(t_{B''}-t_{B'}\right),}$

${\displaystyle t_{B''}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{B''}=t_{A'}-{\frac {v}{c^{2}}}x_{A'}\,,}$

${\displaystyle {\overline {A'B''}}={\sqrt {\left(x_{B''}-x_{A'}\right)^{2}-c^{2}\left(t_{B''}-t_{A'}\right)^{2}}}\,.}$

Введя вспомогательные переменные

${\displaystyle H=t_{B''}-t_{B'}=t_{B''}-t_{A'}\,,}$

${\displaystyle W=x_{B''}-x_{B'}\,,}$

и замечая, что

${\displaystyle W+L=x_{B''}-x_{B'}+x_{B'}-x_{A'}=x_{B''}-x_{A'}\,,}$

можно переписать уравнение как

${\displaystyle W=vH\qquad H={\frac {v}{c^{2}}}\left(W+L\right)\qquad {\overline {A'B''}}={\sqrt {\left(W+L\right)^{2}-c^{2}H^{2}}}}$

и решить его:

${\displaystyle {\overline {A'B''}}={\frac {L}{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}$

Следовательно, при описании в сопутствующей системе отсчёта расстояние между кораблями увеличивается в ${\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ раз. Поскольку струна не сможет так растянуться, она порвётся.

На основании этих результатов, Белл пришёл к выводу о необходимости пересмотра теории относительности. Он отметил, что релятивистское сокращение тел, так же как и отсутствие сокращения расстояний между космическими кораблями в рассматриваемом мысленном эксперименте, можно объяснить динамически, используя уравнения Максвелла. Искажение межмолекулярных электромагнитных полей вызывает сокращение движущихся тел — или напряжения в них, если предотвращать их сокращение. Но между кораблями эти силы не действуют.

Релятивистская задача о движении тел с одинаковыми ускорениями привлекала внимание исследователей задолго до появления парадокса Белла. В 1907 году Эйнштейн[8], приступая к релятивистской теории гравитации, показал, что время в ускоренных системах течёт по-разному. Таким образом, Эйнштейн посредством принципа эквивалентности предсказал гравитационное красное смещение. В частности, в «равномерно ускоренной системе» или, что то же самое, в однородно ускоренной системе отсчёта темп времени зависит от расстояния ${\textstyle \delta =x_{B}-x_{A}}$:

$${\displaystyle \tau =e^{g\delta \over c^{2}},}$$

где g — ускорение точек. Релятивистское уравнение движения тела[9] массы m под воздействием силы ${\textstyle F_{x}}$

$${\displaystyle mc^{2}{d^{2}x \over ds^{2}}=F_{x},}$$

причем интервал ${\textstyle s=c\tau }$ пропорционален собственному времени. Собственное время (показания бортовых стандартных часов ракеты) определяется движением ракеты и его невозможно как-то изменить. Например синхронизировать с «неподвижными» часами. В криволинейных координатах используются методы общей теории относительности. Для описание собственной неинерциальной системы отсчёта необходимо применять ковариантное дифференцирование

$${\displaystyle mc^{2}{Du^{x} \over ds}=F^{x},}$$

Причем движение в гравитационном поле описывается уравнением ${\textstyle Du^{x}=0}$ (уравнение геодезических)[9]. Если нам необходимо знать ускорение точки в трёхмерном пространстве, то соответствующее выражение в общем виде выглядит довольно сложно[10]. Однако в собственной системе отсчёта (скорость точек равна нулю) ускорение выражается просто:

$${\displaystyle {d^{2}x^{i} \over dt^{2}}=c^{2}\Gamma _{00}^{i}.}$$

Таким образом вычисления Белла и аналогичные вычисления не относятся к релятивистской физике ускоренных систем. Точный ответ можно получить с помощью методов общей теории относительности. Однако задача Белла может быть решена и непосредственно из принципов теории относительности. Строго, исходя из постоянства скорости света задачу релятивистского движения тел с одинаковым ускорением решил Гарри Ласс в 1963 году[11]. Ласс решил одномерную задачу однородно ускоренной системы, используя принцип постоянства скорости света. Ласс рассмотрел систему отсчёта ${\displaystyle O'XYZ}$, ускоряющуюся вдоль оси ${\displaystyle x}$ относительно инерциальной системы координат ${\displaystyle Oxyz}$. Далее, постулировав, что ${\displaystyle dX/dT=\pm c}$, и ${\displaystyle dx/dt=\pm c}$ (координатная скорость света инвариант), получил преобразование

$${\displaystyle x={\frac {c^{2}}{g}}\left[e^{gX/c^{2}}\cosh {\frac {gT}{c}}-1\right]}$$

и

$${\displaystyle t={\frac {c}{g}}e^{gX/c^{2}}\sinh {\frac {gT}{c}}.}$$

Решение Ласса соответствует решению Эйнштейна для хода часов в однородной ускоренной системе и его ускорение действительно постоянно ${\textstyle \Gamma _{00}^{i}=g/c^{2}}$. Если в задаче Белла ракеты остановить, то есть принять ${\textstyle T=0}$, то расстояние между ними всегда будет фиксировано:

$${\displaystyle L|_{T=0}={\frac {c^{2}}{g}}\left(e^{gX_{B}/c^{2}}-e^{gX_{A}/c^{2}}\right).}$$

Из этого уравнения получается, что расстояние между ракетами в инерциальной системе сокращается в соответствии с законом Лоренца:

$${\displaystyle x_{B}-x_{A}={\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}L.}$$

Парадокс решён. Одинаково ускоряющиеся ракеты сохраняют расстояние в собственной системе отсчёта. Причем «неподвижный» наблюдатель видит обычное сокращение Лоренца.

• Гиперболическое движение
• Координаты Риндлера
• Парадокс Эренфеста
• Парадокс субмарины
• Парадокс лестницы

• Герштейн С. С., Логунов А. А. «Задача Дж. С.Белла» (препринт ИФВЭ 1996)
• Герштейн С. С., Логунов А. А. Задача Дж. Белла // Физика элементарных частиц и атомного ядра. — 1998. — Т. 29, вып. 5. — С. 463—468.
• Michael Weiss, Bell’s Spaceship Paradox (1995), USENET Relativity FAQ (англ.)
• Austin Gleeson, Course Notes Chapter 13 See Section 4.3 (англ.)
• JH Field,  (недоступная ссылка) (англ.)
• Romain, J. E. A Geometric approach to Relativistic paradoxes (англ.) // Am. J. Phys. : journal. — 1963. — Vol. 31. — P. 576—579. (англ.)
• Hsu, Jong-Ping; & Suzuki. Extended Lorentz Transformations for Accelerated Frames and the Solution of the «Two-Spaceship Paradox» (англ.) // AAPPS Bulletin : journal. — 2005. — Vol. October. — P. ?. eprint версия. (недоступная ссылка) (англ.)
• Redžić D.V.(2010) «Relativistic length agony continued» (англ.)
• Foukzon J., Podosyonov S.A., Potapov A.A.,(2009), «Relativistic length expansion in general accelerated system revisited». (англ.)
• Podosyonov S.A., Foukzon J. and Potapov A.A.,(2010) «A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium»,
• Gravitation and Cosmology, 2010,Vol.16,No.4,pp.307-312.ISSN 0202-2893, (англ.) http://www.springerlink.com/content/j8kr55831h411365/ (недоступная+ссылка)