Парадоксы квантовой механики

Невозможно установить то, через какую щель проходит фотон, без разрушения всей дифракционной картины.

Обозначим через ${\displaystyle \omega }$ малый угол между путями фотона через верхнюю и нижнюю щели. Разность между импульсами фотона, переданными диафрагме, будет ${\displaystyle \hbar k\omega }$, где ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle k}$ — волновое число. Но измерение импульса диафрагмы с такой точностью согласно соотношению неопределенностей, повлечет за собой неопределенность в положении диафрагмы, не меньшую, чем ${\displaystyle {\frac {1}{k\omega }}}$. Если диафрагма, содержащая две щели, находится посередине между диафрагмой с одной щелью и фотопластинкой, то число интерференционных полос на единицу длины равно ${\displaystyle k\omega }$. Но такую же неопределенность в положении полос вызывает неопределенность в положении диафрагмы, не меньшая чем ${\displaystyle {\frac {1}{k\omega }}}$. Следовательно, интерференционная картина в результате попытки измерения импульса фотонов, с точностью, необходимой для определения, через какую щель они проходят, полностью исчезает[2][3].

При другом способе вычислений, для определения, через какую щель проходит фотон, необходимо, чтобы ошибка ${\displaystyle \Delta x}$ в определении координаты фотона была бы меньше четверти расстояния ${\displaystyle d}$ между щелями:

${\displaystyle \Delta x<{\frac {d}{4}}}$ (1).

Определим максимально допустимую неопределённость в значении импульса ${\displaystyle \Delta p_{x}}$, которая ещё не приведёт к полному уничтожению дифракционной картины на экране. Из условия интерференции (разность хода световых волн от щелей в экране до максимумов интерференционной картины равна целому числу длин волн) следует, что ${\displaystyle d\Delta \theta ={\frac {\lambda }{4}}}$. Здесь ${\displaystyle \Delta \theta }$ — угол между направлениями на соседние максимум и минимум интерференционной картины, ${\displaystyle \lambda }$ — длина волны падающего света. Неопределённость в значении импульса ${\displaystyle \Delta p_{x}}$ может быть определена как ${\displaystyle \Delta p_{x}=p\Delta \theta _{1}}$, где ${\displaystyle p}$ — импульс фотона. Неопределённость направления импульса ${\displaystyle \Delta \theta _{1}}$ не должна превышать угол между направлениями на соседние максимум и минимум интерференционной картины ${\displaystyle \Delta \theta }$: ${\displaystyle {\frac {\Delta p_{x}}{p}}<{\frac {\lambda }{4d}}}$. Используя соотношение между импульсом фотона и длиной волны: ${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}}$, получаем:

${\displaystyle 4d\Delta p_{x}<\hbar }$ (2),

Перемножая неравенства (1) и (2), получаем условие одновременного проявления светом корпускулярных и волновых свойств:

${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}<{\frac {2\pi \hbar }{16}}}$.

Это условие противоречит принципу неопределённости ${\displaystyle \Delta x\Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}}$. Таким образом, установление того, через какую щель пролетают фотоны, разрушает всю интерференционную картину. Эксперимент, в котором фотоны одновременно проявляют корпускулярные и волновые свойства, невозможно провести в принципе[4].

В квантовой механике в эксперименте с двумя щелями складываются не вероятности прохождения фотонов через обе щели, как в классической механике, а амплитуды вероятностей[1]. Обозначим ${\displaystyle E}$ амплитуду вероятности света за экраном, ${\displaystyle E_{1}}$ и ${\displaystyle E_{2}}$ амплитуды вероятностей света от обеих щелей экрана. Вероятность найти фотон в точке за щелями равна квадрату амплитуды вероятности:

${\displaystyle E^{2}=(E_{1}+E_{2})^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}}$

Отсюда очевидно, что вероятность нахождения фотона в точке за экраном не равна сумме вероятностей прохождения фотоном обеих щелей.[5][6]

• Неравенства Белла

• Гейзенберг В., Физические принципы квантовой теории
• Паули В., Общие принципы волновой механики
• Дирак П., Принципы квантовой механики
• Нейман И. Математические основы квантовой механики. — М.: Наука, 1964.

• Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — («Теоретическая физика», том III). ^{издание?}
• Шифф Л., Квантовая механика
• Давыдов А. С. Квантовая механика
• Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Квантовая механика.
• Мессиа А., Квантовая механика
• Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики

• Олег Фейгин. Парадоксы квантового мира. — М.: Эксмо, 2012. — 288 с. — (Тайны мироздания). — 3000 экз. — ISBN 9785699530168.
• Пайерлс Р. Е. Законы природы. — М.: Физматлит, 1958. — 339 с.
• Пенроуз Р. Новый ум короля. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 339 с. — ISBN 5-354-00005-X.