Отношение к риску

Подбрасывание симметричной монеты является лотереей, если выпадение решки приводит к выигрышу 100 рублей, а орла к проигрышу 100 рублей. Каждая из сторон выпадает с вероятностью 0,5 (50%). Средний ожидаемый выигрыш равен нулю:

${\displaystyle 0.5\cdot 100+0.5\cdot (-100)=0}$

Предположим, что агенту нужно сравнить подбрасывание монеты со статус-кво, когда он отказывается от игры в орлянку. В последнем случае он гарантировано получает выигрыш, равный 0. Тогда агент:

• испытывает отвращение к риску, если предпочитает гарантированный выигрыш;
• нейтрален по отношению к риску, если ему все равно играть или не играть;
• любит риск, если предпочитает подбрасывание монеты.

Если агент испытывает отвращение к риску, то можно увеличить ожидаемый выигрыш на некоторую величину, чтобы он согласился рисковать. Такое увеличение называется премией за риск. Нейтральному агенту ничего платить не нужно. Агент, любящий риск, готов платить сам ради риска.

Согласно теории ожидаемой полезности выигрыш в лотерею определяется как математическое ожидание (среднее выигрышей и проигрышей):

${\displaystyle U=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}}$,

где ${\displaystyle U}$ — функция полезности фон Неймана-Моргенштерна; ${\displaystyle x_{i}}$ — величина выигрыша; ${\displaystyle p_{i}}$ — вероятность выигрыша. Вместо выигрыша ${\displaystyle x_{i}}$ можно рассматривать его полезность ${\displaystyle u(x_{i})}$. Функция ${\displaystyle u(\cdot )}$ называется функцией полезности Бернулли. Тогда:

${\displaystyle U=\sum _{i=1}^{n}p_{i}u(x_{i})}$

Агенты с разным отношением к риску сравнивают полезность гарантированного выигрыша, соответствующего математическому ожиданию ${\displaystyle \mathbb {E} (x)}$ с математическим ожиданием полезности ${\displaystyle \mathbb {E} (u(x))}$ полезностей отдельных выигрышей. Полезность гарантированного выигрыша может больше, меньше или равна математическому ожиданию полезности. В зависимости от знака неравенства определяется отношение к риску. Тогда агент:

• испытывает отвращение к риску, если ${\displaystyle u{\Bigg (}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}{\Bigg )}\geq \sum _{i=1}^{n}p_{i}u(x_{i})}$;
• нейтрален по отношению к риску, если ${\displaystyle u{\Bigg (}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}{\Bigg )}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}u(x_{i})}$;
• любит риск, если ${\displaystyle u{\Bigg (}\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}{\Bigg )}\leq \sum _{i=1}^{n}p_{i}u(x_{i})}$.

В зависимости от поведения меры Эрроу-Пратта выделяют функции с возрастающим, убывающим или постоянным показателем отвращения к риску. Важными примерами функций полезности являются функции с постоянным абсолютным и относительным показателем отношения к риску.

Функция с постоянным абсолютным показателем отношения к риску (англ. CARA — constant absolute risk aversion:

${\displaystyle u(x)={\frac {1-e^{-\rho x}}{\rho }}}$

Абсолютная мера Эрроу-Пратта для такой функции равна: ${\displaystyle \rho }$.

Функция с постоянным относительным показателем отношения к риску (англ. CRRA — constant relative risk aversion):

${\displaystyle u(x)={\frac {x^{1-\rho }-1}{1-\rho }}}$

Относительная мера Эрроу-Пратта для такой функции равна: ${\displaystyle 1/\rho }$.