Мера Эрроу — Пратта

Абсолютная мера неприятия риска Эрроу — Пратта определяется следующим образом:

${\displaystyle R_{a}=-{\frac {u''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{dx}}}$,

то есть равна производной логарифма предельной полезности по объёму потребления (с обратным знаком).

Относительная мера неприятия риска Эрроу — Пратта равна эластичности предельной полезности по объёму потребления (также с обратным знаком):

${\displaystyle R=-{\frac {xu''(x)}{u'(x)}}=-{\frac {d\ln MU(x)}{d\ln x}}}$

Теорема Пратта утверждает эквивалентность следующих трёх способов ранжирования неприятия риска.

Первый способ — по мере Эрроу — Пратта — чем больше, тем больше степень неприятия риска.

Второй способ — потребитель 1 имеет большую степень неприятия риска, чем потребитель 2, если существует строго возрастающая строго вогнутая (выпуклая вверх) функция ${\displaystyle G}$, такая что ${\displaystyle \forall x,u_{1}(x)=G(u(x))}$, где ${\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x)}$- функции полезностей первого и второго потребителя соответственно.

Третий способ — неприятие риска тем больше, чем больше так называемое вознаграждение за риск ${\displaystyle \pi (x)}$ (для всех ${\displaystyle x}$), определяемая как такая величина, что ${\displaystyle Eu(x)=u(Ex-\pi (x))}$, то есть величина ${\displaystyle Ex-\pi (x)}$ является безрисковым эквивалентом ${\displaystyle x}$.

В теореме предполагается дважды непрерывная дифференцируемость функций полезности со стандартными условиями положительности первой производной (предельной полезности) и неположительности второй (невозрастание предельной полезности, то есть вогнутость или выпуклость вверх функций полезности).

Можно показать, что требуемое вознаграждение за риск в первом приближении выражается через меру Эрроу-Пратта ${\displaystyle r(x)}$ следующим образом ${\displaystyle \pi (x)=r(x)\sigma ^{2}/2}$, где ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ — дисперсия лотереи.

Для функции с постоянной абсолютной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

${\displaystyle u(x)=c_{1}-c_{2}e^{-\alpha x}}$.

Параметр ${\displaystyle c_{1}}$ здесь фактически определяет максимальную полезность, достигаемую асимптотически с ростом ${\displaystyle x}$.

Для функции с постоянной относительной мерой неприятия риска Эрроу — Пратта общий вид функции полезности следующий:

${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}{\frac {x^{1-\theta }}{1-\theta }},\theta <>1}$.

В частном (особом) случае единичной эластичности (${\displaystyle \theta =1}$) функция полезности имеет вид:

${\displaystyle u(x)=c_{1}+c_{2}\ln x}$.