Ортополюс

• Если прямая ℓ ортополюса P проходит через ортоцентр Q треугольника, то точка, расположенная на продолжении отрезка PQ, соединяющего ортополюс с ортоцентром, по другую сторону на расстоянии, равном PQ, лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[7]
• Ортоцентр Q треугольника является ортополюсом его сторон относительно самого треугольника.[8]

• Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[9]

• Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[3] [10]
• Из последнего свойства следует, что для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через центр описанной окружности треугольника, является окружность Эйлера этого треугольника.
• Если прямая ℓ ортополюса пересекает описанную окружность треугольника в двух точках P и Q, то сам ортополюс лежит на пересечении двух прямых Симсона двух последних точек P и Q.[11]
• Для данного треугольника геометрическим местом точек - всех ортополюсов P всех прямых ℓ, проходящих через фиксированную точку, лежащую на описанной окружности треугольника, является прямая (отрезок).

• Если ортополюс лежит на прямой Симсона, то его линия ℓ перпендикулярна ей.[3]
• Если прямая ℓ ортополюса является прямой Симсона точки P, то точка P называется полюсом прямой Симсона ℓ[3]

• Если прямая ℓ ортополюса перемещается параллельно самой себе, то ее ортополюс смещается вдоль линии, перпендикулярной ℓ, на расстояние, равное перемещению.[3]
• Ортополюсы двух параллельных прямых лежат на общем для них перпендикуляре к двум прямым на расстоянии, равном расстоянию между прямыми.[12]

Если задана фиксированная прямая линия ℓ, и выбрана любая из трех вершин четырехугольника, то все ортополюсы данной прямой линии ℓ относительно всех таких треугольников лежат на одной прямой. Эта линия называется ортополярной линией данной линии ℓ относительно четырехугольника.[13]

• Известно (см. [14][15]), что нахождение для данного фиксированного треугольника всех ортополюсов ${\displaystyle O_{PQ}}$ для всех прямых ${\displaystyle PQ}$, проходящих через неподвижную точку ${\displaystyle P}$, порождает конику, которая всегда является эллипсом, касательным в 3 точках к дельтоиде Штейнера данного треугольника. Коника вырождается в прямую (отрезок), когда точка ${\displaystyle P}$ находится на описанной окружности треугольника ${\displaystyle ABC}$. Эта коника обобщает свойство, обсуждаемое в статье [16], согласно которому для точки ${\displaystyle P}$, совпадающей с центром описанной окружности ${\displaystyle O}$ треугольника, коника становится окружностью Эйлера [17]
• Замечание. В данной статье в параграфе "Ортополюс и описанная окружность" упомянутое выше свойство звучит так:

Если прямая ℓ ортополюса проходит через центр описанной окружности треугольника, то сам ортополюс лежит на окружности Эйлера этого треугольника.[3][18]

В англоязычной литературе 4 центра 4 окружностей: 1 вписанной и 3 вневписанных окружностей с центрами соответственно ${\displaystyle I,J_{A},J_{B},J_{C}}$, касающиеся соответственно 3 разных сторон ${\displaystyle a,b,c}$ треугольника или их продолжений, - называют 4 трехкасательными центрами треугольника (the tritangent centers) [19]. Это замечание важно для следующего утверждения.

Точки Фейербаха треугольника являются ортополюсами данного треугольника, если в качестве прямых ℓ для этих ортополюсов взяты диаметры описанной окружности, проходящие через соответствующие трехкасательные центры [20]. Последнее утверждение есть следствие утверждения, указанного ниже.

Точка Фейербаха для данной вписанной или вневписанной окружности (трехкасательная окружность - по-английски "a tritangent circle ") является точкой пересечения 2 прямых Симсона, построенных для концов диаметра описанной окружности, проходящего через соответствующий центр вписанной или вневписанной окружности. Таким образом, точки Фейербаха могут быть построена без использования соответствующей вписанной или вневписанной окружности и касающейся ее окружности Эйлера[21].