Опорная функция

Опорной функцией или опорным функционалом множества , принадлежащего векторному пространству , называется функция на сопряжённом пространстве , определяемая соотношением

Например, опорная функция единичного шара в нормированном пространстве  это норма на сопряжённом пространстве.

Свойства

  • Опорная функция всегда выпуклая, замкнутая и положительно однородная (первой степени).
  • Оператор взаимно однозначно отображает совокупность выпуклых замкнутых множеств в на совокупность выпуклых замкнутых положительно однородных функций, обратный оператор — не что иное, как субдифференциал (в нуле) опорной функции.
    • Именно, если  — выпуклое замкнутое подмножество в , то , и если  — выпуклая замкнутая однородная функция на , то .
  • если .
  • , где обозначает сумму Минковского
  • где обозначает максимальную выпуклую функцию не превосходящую .
  • где обозначает выпуклую оболочку .

См. также

Ссылки

  • Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.