Субдифференциал

Субдифференциал функции f, заданной на банаховом пространстве E — это один из способов обобщить понятие производной на произвольные функции. Хотя при его использовании приходится пожертвовать однозначностью отображения (значения субдифференциала в общем случае — множества, а не отдельные точки), он оказывается довольно удобным: любая выпуклая функция оказывается субдифференцируемой на всей области определения. В тех случаях, когда о дифференцируемости функции заранее ничего не известно, это оказывается существенным преимуществом.

Кроме того, субдифференциал (при довольно слабых ограничениях на функцию) по своим свойствам во многом подобен обычной производной. В частности, для дифференцируемой функции они совпадают, а для недифференцируемой он оказывается как бы «множеством возможных производных» в данной точке. Значения субдифференциала являются выпуклыми подмножествами сопряженного пространства E*.

Определение

Субдифференциалом $\partial f(x_{0})$ выпуклой функции $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ в точке $x_{0}$ называется множество, состоящее из всех линейных функционалов $p\in E^{*}$ , удовлетворяющих для всех $x\in E$ неравенству

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

.

Функция $f(x)$ называется субдифференцируемой в точке $x_{0}$ , если множество $\partial f(x_{0})$ непусто.

Вектор $p\in E^{*}$ , принадлежащий субдифференциалу $\partial f(x_{0})$ , называется субградиентом функции $f(x)$ в точке $x_{0}$ .

Свойства

$\partial f(x_{0})$ — выпуклое (возможно пустое) множество в $E^{*}$

Пусть f₁(x), f₂(x) — выпуклые конечные функции, причем одна из них непрерывна в точке x, $\lambda \geq 0$ , тогда

$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{2}(x)\right)$ , сумма понимается в смысле суммы Минковского.

$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

Если функция $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ выпукла и непрерывна в точке $x\in E$ , то она субдифференцируема в этой точке $x\in E$ , то есть $\partial f(x)\neq \varnothing$ , и её субдифференциал $\partial f(x)$ является множеством компактным и выпуклым

Пусть функция $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ выпукла и конечна. В этом случае функция $f(x)$ дифференцируема по Гато в точке $x_{0}\in E$ тогда и только тогда, когда её субдифференциал в этой точке состоит из единственного вектора $\partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x}}\right\}$

Функция имеет локальный минимум в точке тогда и только тогда, когда 0 принадлежит субдифференциалу в этой точке.

Если последовательность выпуклых функций $f_{n}$ сходится поточечно к выпуклой функции $f$ , то для любой сходящейся последовательности $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ её предел $p=\lim _{n\to \infty }p_{n}$ принадлежит субдифференциалу $\partial _{x_{0}}f$ .

Ссылки

Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с — ISBN 5-9221-0499-3.
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentals of Convex Analysis. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.