Объём Малера

Выпуклое тело в Евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью.

Если ${\displaystyle B}$ есть центрально-симметричное выпуклое тело в n-мерном евклидовом пространстве, то двойственное тело ${\displaystyle B^{*}}$ другое центрально-симметричного тело в том же пространстве, определяемая как

${\displaystyle B^{*}=\left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}y\in B\right\}.}$

Объём Малера ${\displaystyle B}$ является произведением объёмов ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle B^{*}}$.

• Единичный шар является самодвойственным. Поэтому объём Малера единичного шара есть квадрат его объёма.

  ${\displaystyle {\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}.}$

где Γ обозначает гамма-функцию.

• Такой же объём Малера имеет любой эллипсоид

• Двойственное тело для куба есть октаэдр. Отсюда несложно вычислить что объём Малера куба (также как и октаэдра) есть ${\displaystyle {\tfrac {4^{n}}{n!}}}$.
  • Согласно формуле Стирлинга, объём Малера шара превышает объем Малера куба примерно в ${\displaystyle \left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}}$ раз.

• Объём Малера являющееся безразмерной величиной инвариантой относительно линейных преобразований.
• По неравенству Бляшке — Сантало, шар имеет максимальный объёмом Малера.

• Bourgain, J. & Milman, V. D. (1987), New volume ratio properties for convex symmetric bodies in Rⁿ, Inventiones Mathematicae Т. 88 (2): 319–340, DOI 10.1007/BF01388911.

• Santaló, L. A. (1949), An affine invariant for convex bodies of n-dimensional space, Portugaliae Math. Т. 8: 155–161.

• Tao, Terence (March 8, 2007), Open question: the Mahler conjecture on convex bodies, <http://terrytao.wordpress.com/2007/03/08/open-problem-the-mahler-conjecture-on-convex-bodies/>. Revised and reprinted in Tao, Terence (2009), 3.8 Mahler's conjecture for convex bodies, Structure and Randomness: Pages from Year One of a Mathematical Blog, American Mathematical Society, с. 216–219, ISBN 978-0-8218-4695-7.