Неравенство Колмогорова
Неравенство Колмогорова — обобщение теоретико-вероятностного варианта неравенства Чебышёва, ограничивающее вероятность того, что частичная сумма конечной совокупности независимых случайных величин не превышает некоторого фиксированного числа. Установлено Андреем Колмогоровым в середине 1920-х годов и применено им для доказательства усиленного закона больших чисел.
Формулировка[1]: для определённых на общем вероятностном пространстве независимых случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями и произвольной величины выполнено:
(1) |
гдe .
Если к тому же , то
(2) |
Доказательство
Обозначим
Тогда и
- (Где — индикатор)
Но
поскольку в силу предположенной независимости и условий Поэтому
что и доказывает неравенство 1.
Для доказательства неравенства 2 заметим, что
(3) |
С другой стороны, на множестве
и, значит,
(4) |
Примечания
- Хеннекен, 1974, с. 30.
Литература
- Billingsley, Patrick. Probability and Measure (неопр.). — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1995. — ISBN 0-471-00710-2. (Theorem 22.4)
- Feller, William An Introduction to Probability Theory and its Applications, Vol 1 (англ.). — Third Edition. — New York: John Wiley & Sons, Inc., 1968. — P. xviii+509. — ISBN 0-471-25708-7.
- Хеннекен П. Л., Тортра А. Теория вероятностей и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1974. — 472 с.
- Ширяев А. Н. Вероятность. — 3-е изд., перераб. и доп.. — М.: МЦНМО, 2004. (Глава 4 § 2 раздел 1)