Неравенство Виртингера

Исторически неравенством Виртингера называли неравенство в следующей теореме:

Пусть функция f : R → R является непрерывно дифференцируемой и 2π-периодической, и пусть

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }f(x)=0}$.

Тогда

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }f^{2}(x)dx\leq \int \limits _{0}^{2\pi }f'^{2}(x)dx}$

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда

${\displaystyle f(x)=a\sin x+b\cos x}$, при каких-то a и b

или, что то же самое,

${\displaystyle f(x)=c\sin(x+d)}$ при каких-то c и d.

Это неравенство было использовано при доказательстве теоремы о фигуре наибольшей площади при фиксированном периметре.