Недиана

Недианы  (или n-дианы) треугольника (англ. nedian или n-dian) — чевианы, соединяющие вершину треугольника и точки противолежащей стороны, которые отстоят на длины от её концов.[1]

Рисунок 1. Недианы треугольника.

Чисто n конкретизирует название недиан, например, при n = 2 мы получим середины сторон, а недианы станут медианами, при n = 3 — тридианами, при n = 4 — тетрадианами, при n = 5 — пентадианами и т.д.

При n > 2 недианы треугольника разделяют на передние и задние[2]. К передним недианам относят: BM, AK и CS, задними считают BN, AL и CE (См. рисунок 1).

Кроме того, все недианы треугольника можно разделить на две группы: нижние и верхние.

Верхними недианами будем называть те, что расположены ближе к вершине треугольника, например, AL и CS при вершине B. Тогда нижними будут недианы AK и CN (См. рисунок 1). Недианы, выходящие из одной вершины будем называть смежными (например, BM и BN).

Недианов треугольник
Рисунок 2. Недианов треугольник

При попарном пересечении передних (или задних) недиан образуется недианов треугольник DEF (См. рисунок 2). В общем случае отношение площади недианова треугольника к площади исходного треугольника выражается соотношением: .[1] Данное соотношение является частным случаем теоремы Рауса.

При n = 3 площадь недианова треугольника составляет 1/7 от площади исходного треугольника ABC и является решением известной задачи Ричарда Фейнмана, которую в своё время решали различными способами Мартин Гарднер, Роберт Потс и другие.

Недианов шестиугольник
Рисунок 3. Недианов шестиугольник

При попарном пересечении всех 6-ти недиан треугольника образуется недианов шестиугольник FGHIJK (См. рисунок 3). Отношение площади полученного шестиугольника к площади исходного треугольника:

Примечания
  1. John Satterly. 2392. The nedians of a plane triangle (англ.) // The Mathematical Gazette. — 1954/05. — Vol. 38, iss. 324. — P. 111–113. — ISSN 2056-6328 0025-5572, 2056-6328. — doi:10.2307/3609820.
  2. John Satterly. 2734. Nedians and the Nedian Hexagon // The Mathematical Gazette. — 1957. — Т. 41, вып. 338. — С. 289–291. — ISSN 0025-5572. — doi:10.2307/3610134.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.