Невырожденный полупроводник

Поскольку электроны обладают полуцелым спином, они подчиняются статистике Ферми-Дирака

${\displaystyle f(E)={\frac {1}{1+\exp {\frac {E-F}{kT}}}}}$,

${\displaystyle f(E)}$ — вероятность того, что квантовое состояние с энергией ${\displaystyle E}$ заполнено электроном; ${\displaystyle F}$ — электрохимический потенциал, или уровень Ферми, который в общем случае зависит от температуры. Уровень Ферми можно также определить как энергию квантового состояния, вероятность заполнения которого при данных условиях равна 1/2.

При ${\displaystyle T=0\quad }$${\displaystyle f(E)}$ имеет вид разрывной функции:

• для ${\displaystyle E<F\quad }$ ${\displaystyle f(E)=1}$, а, значит, все квантовые состояния с такими энергиями заполнены электронами;

• для ${\displaystyle E>F\quad }$ ${\displaystyle f(E)=0}$, поэтому соответствующие квантовые состояния свободны.

При ${\displaystyle T>0\quad }$ функция Ферми изображается непрерывной кривой и в узкой области энергий порядка нескольких ${\displaystyle kT}$ в окрестности точки ${\displaystyle E=F}$ быстро изменяется от 1 до 0. Размытие функции Ферми тем больше, чем выше температура.

Вычисление статистических величин значительно упрощается, если ${\displaystyle F}$ лежит в запрещенной зоне энергий и удален от края зоны проводимости ${\displaystyle E_{c}}$ на несколько ${\displaystyle kT}$. Тогда в распределении Ферми-Дирака можно считать ${\displaystyle \exp {\frac {E-F}{kT}}\gg 1}$ и оно переходит в распределение Максвелла — Больцмана классической статистики ${\displaystyle f(E)=C\exp {\frac {E-F}{kT}}}$. В этом случае электронный газ не вырожден.

Аналогично в полупроводнике p-типа для отсутствия вырождения дырочного газа необходимо, чтобы уровень Ферми ${\displaystyle F}$ тоже лежал внутри запрещенной зоны и был расположен выше энергии ${\displaystyle E_{v}}$ на несколько ${\displaystyle kT}$.

Противоположный случай, когда уровень Ферми расположен внутри зоны проводимости или внутри валентной зоны, есть случай вырожденного электронного или, соответственно, дырочного газа. В этом случае необходимо пользоваться распределением Ферми — Дирака.

Концентрация электронов в зоне проводимости описывается выражением

${\displaystyle n=\int \limits _{E_{c}}^{\infty }f(E)\rho _{c}(E)dE=N_{c}\Phi _{1/2}(\xi )}$,

${\displaystyle \xi ={\frac {F-E_{c}}{kT}}}$ — химический потенциал для электронов (точнее, его безразмерная величина),

${\displaystyle \rho _{c}(E)={\frac {1}{V}}{\frac {dN}{dE}}}$ — плотность электронных состояний в зоне проводимости — число состояний на единичный интервал энергий в единице объёма,

${\displaystyle N_{c}=2\left({\frac {m_{c}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}}$ — эффективная плотность состояний в зоне проводимости.

Значение интеграла ${\displaystyle \Phi _{1/2}(\xi )}$ зависит только от химического потенциала и температуры. Этот интеграл известен как интеграл Ферми — Дирака с индексом 1/2:

${\displaystyle \Phi _{1/2}(\xi )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{1/2}}{1+\exp {(x-\xi )}}}}$.

Расчет концентрации дырок в валентной зоне проводится аналогично, отличия от предыдущего случая лишь в том, что используется плотность состояний в валентной зоне ${\displaystyle \rho _{v}(E)}$ и учитывается не число заполненных, а число незанятых состояний ${\displaystyle f_{p}=(1-f)}$:

${\displaystyle p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}f_{p}(E)\rho _{v}(E)dE=N_{v}\Phi _{1/2}(\eta )}$,

${\displaystyle N_{v}=2\left({\frac {m_{v}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}}$ — эффективная плотность состояний в валентной зоне,

${\displaystyle \eta ={\frac {E_{v}-F}{kT}}}$ — химический потенциал для дырок — безразмерный параметр, характеризующий положение уровня Ферми относительно края валентной зоны.

Для невырожденных полупроводников существен только хвост распределения Ферми, который может быть аппроксимирован распределением Максвелла — Больцмана. В этом случае интеграл Ферми-Дирака принимает вид ${\displaystyle \Phi _{1/2}(\xi )=\exp {\xi }}$, и концентрации носителей в зонах определяются выражениями:

${\displaystyle n=N_{c}\exp {\frac {-(E_{c}-F)}{kT}}}$,

${\displaystyle p=N_{v}\exp {\frac {E_{v}-F}{kT}}}$.

Множитель перед экспонентой дает вероятность заполнения электронами квантового состояния с энергией ${\displaystyle E_{c}}$ (либо с энергией ${\displaystyle E_{v}}$ в случае дырок). Следовательно, для невырожденного полупроводника концентрация подвижных электронов получается такой же, как если бы, вместо непрерывного распределения состояний в зоне, в каждой единице объёма было ${\displaystyle N_{c}}$ состояний с одинаковой энергией ${\displaystyle E_{c}}$.

Рассуждая аналогично, при подсчете концентрации дырок валентную зону можно заменить совокупностью состояний с одинаковой энергией ${\displaystyle E_{v}}$ число которых в каждой единице объёма есть ${\displaystyle N_{v}}$.

В невырожденных полупроводниках концентрация основных носителей мала по сравнению с эффективными плотностями состояний ${\displaystyle N_{v},N_{c}}$. В вырожденных полупроводниках имеет место обратное. Поэтому, сопоставляя измеренные значения концентрации электронов и дырок со значениями ${\displaystyle N_{v},N_{c}}$, можно сразу установить, является ли данный полупроводник вырожденным или нет.

Отношение ${\displaystyle {\frac {n}{p}}}$ зависит главным образом от положения уровня Ферми относительно краев зон. Из выражений для концентраций ${\displaystyle n,p}$ видно, что концентрация подвижных носителей заряда будет больше в той зоне, к которой ближе расположен уровень Ферми. Поэтому в полупроводниках n-типа уровень Ферми расположен в верхней половине запрещенной зоны, а в полупроводниках p-типа — в нижней половине. Однако произведение концентраций электронов и дырок для невырожденного полупроводника не зависит от положения уровня Ферми и равно ${\displaystyle np=N_{c}N_{v}\exp {\frac {-E_{g}}{kT}}}$.

• Бонч-Бруевич В. Л., Калашников С. Г. Физика полупроводников. — Москва: Наука, 1977.
• Лебедев А. И. Физика полупроводниковых приборов. — Физматлит Москва, 2008. — 488 с. — ISBN 978-5-9221-0995-6.