Модуль автоморфизма

Модуль автоморфизма — вещественное положительное число, ставящееся в соответствие автоморфизму, локально компактной группы.

Если ${\displaystyle G}$ — такая группа и ${\displaystyle A}$ — некоторый автоморфизм группы ${\displaystyle G}$ как топологической группы, то модуль автоморфизма а определяется формулой

${\displaystyle mod(A)=\mu A(S)/\mu S}$?, где ${\displaystyle \mu }$ — левоинвариантная мера Хаара на группе ${\displaystyle G}$ и ${\displaystyle S}$ — любое компактное подмножество группы ${\displaystyle G}$ положительной меры (причем ${\displaystyle mod(A)}$ не зависит от выбора ${\displaystyle S}$).

Если ${\displaystyle G}$ компактна или дискретна, то всегда ${\displaystyle mod(A)=1}$, так как для компактной группы можно положить ${\displaystyle S=G}$, а для дискретной ${\displaystyle S=a}$, где ${\displaystyle a}$ — любой элемент ${\displaystyle G}$.

Если ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle A'}$ — два автоморфизма группы G, то

${\displaystyle mod(A\circ A)=mod(A)mod(A').}$

Если ${\displaystyle \Gamma }$ — некоторая топологическая группа, которая непрерывно действует на группе ${\displaystyle G}$ автоморфизмами, то ${\displaystyle mod}$ определяет непрерывный гомоморфизм ${\displaystyle mod:\Gamma \to \mathbb {R} _{+}}$ где ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ — мультипликативная группа вещественных положительных чисел.

В частности, сопоставляя каждому элементу ${\displaystyle a\in G}$ порождаемый им внутренний автоморфизм группы ${\displaystyle G}$ и рассматривая модуль этого автоморфизма, получают непрерывный гомоморфизм ${\displaystyle G}$ в группу ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$. Этот гомоморфизм тривиален тогда и только тогда, когда левоинвариантная мера Хаара на группе ${\displaystyle G}$ является одновременно и правоинвариантной. Группы, удовлетворяющие последнему условию, называются унимодулярными.