Модель мультипликатора-акселератора

Модель потребительских расходов:

${\displaystyle C_{t}=a_{c}+b_{C}Y_{t-1}}$

где ${\displaystyle a_{C}>0}$ — автономное потребление; ${\displaystyle b_{C}}$-склонность к потреблению, ${\displaystyle 0<b_{C}<1}$.

Модель инвестиций:

${\displaystyle I_{t}=a_{I}+b_{I}(Y_{t-1}-Y_{t-2})}$

где ${\displaystyle a_{I}}$ — автономные инвестиции, ${\displaystyle b_{I}}$ — акселератор, определяющий индуцированные инвестиции.

Модель государственных расходов и чистого экспорта

${\displaystyle G_{t}+NX_{t}=a_{GNX}=const}$

Тождество дохода (равновесие на рынке товаров и услуг):

${\displaystyle Y_{t}=C_{t}+I_{t}+G_{t}+NX_{t}}$

Подставив модель потребительских расходов и индуцированных инвестиций в условие равновесия получим следующее динамическое уравнение:

${\displaystyle Y_{t}=a_{C}+a_{I}+a_{GNX}+(b_{C}+b_{I})Y_{t-1}-b_{I}Y_{t-2}=a+(b_{C}+b_{I})Y_{t-1}-b_{I}Y_{t-2}}$

В стационарном состоянии ${\displaystyle Y_{t}=Y_{t-1}=Y_{t-2}=Y^{*}}$, поэтому

${\displaystyle Y^{*}={\frac {a}{1-b_{C}}}}$

Введем в рассмотрение отклонения выпуска от стационарного уровня ${\displaystyle \Delta Y=Y-Y^{*}}$. Тогда подставив ${\displaystyle Y=Y^{*}+\Delta Y}$ в уравнение динамики выпуска получим следующее динамическое уравнение для отклонений от стационарного выпуска:

${\displaystyle \Delta Y_{t}=(b_{C}+b_{I})\Delta Y_{t-1}-b_{I}\Delta Y_{t-2}}$

Это однородное конечно-разностное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение которого имеет вид:

${\displaystyle \lambda ^{2}-(b_{C}+b_{I})\lambda +b_{I}=0}$

Если дискриминант этого уравнения равен нулю, то имеем единственный корень ${\displaystyle \lambda ={\sqrt {b_{I}}}}$ решение конечно-разностного уравнения имеет вид:

${\displaystyle \Delta Y_{t}=\alpha \lambda ^{t}+\beta t\lambda ^{t}}$

В противном случае решение имеет вид:

${\displaystyle \Delta Y_{t}=\alpha \lambda _{1}^{t}+\beta \lambda _{2}^{t}}$

В случае действительных корней (как в случае одного корня, так и двух) это означает, что либо имеет место монотонное экспоненциальное приближение к равновесному уровню (характеристические корни меньше единицы), либо выпуск бесконечно растет экспоненциально (корни больше единицы).

В случае комплексных корней — они являются сопряженными вместо монотонной динамики имеет место циклическая. В самом деле, если комплексные корни равны ${\displaystyle \lambda =\rho e^{\pm i\omega }}$ (${\displaystyle \rho ={\sqrt {b_{I}}}}$), то ${\displaystyle \lambda ^{t}=\rho ^{t}e^{\pm i\omega t}=\rho ^{t}(\cos \omega t\pm i\sin \omega t)}$. Таким образом, решение в случае комплексных корней имеет вид:

${\displaystyle \Delta Y_{t}=b_{I}^{t/2}(\alpha _{0}\cos \omega t+\beta _{0}\sin \omega t)}$

Таким образом, имеем затухающий циклический процесс (если акселератор меньше единицы) или циклический процесс с возрастающей амплитудой (если акселератор больше единицы). Регулярный циклический процесс имеет место только в исключительно случае, когда акселератор равен единице.

Экономический цикл

Экономические модели