Метод характеристик

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции ${\displaystyle u(x,y)}$

${\displaystyle a(x,y,u)\cdot u_{x}+b(x,y,u)\cdot u_{y}=c(x,y,u).}$

Рассмотрим поверхность ${\displaystyle z=u(x,y)}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. Нормаль к этой поверхности задается выражением

${\displaystyle (u_{x}(x,y),u_{y}(x,y),-1).}$

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

${\displaystyle (a(x,y,z),b(x,y,z),c(x,y,z))}$

является касательным к поверхности ${\displaystyle z=u(x,y)}$ в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде[1]:

${\displaystyle {\frac {dx}{a(x,y,z)}}={\frac {dy}{b(x,y,z)}}={\frac {dz}{c(x,y,z)}},}$

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\frac {dx}{dt}}&=&a(x,y,z)\\{\frac {dy}{dt}}&=&b(x,y,z)\\{\frac {dz}{dt}}&=&c(x,y,z).\end{array}}}$

То есть поверхность ${\displaystyle z=u(x,y)}$ образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю ${\displaystyle (a,b,c)}$.

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

${\displaystyle a\cdot u_{x}+u_{t}=0}$

где ${\displaystyle a}$ постоянная, а ${\displaystyle u}$ — функция переменных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$.

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))=F(u,x(s),t(s))}$,

где ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s),t(s))={\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {dx}{ds}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}{\frac {dt}{ds}}}$

Теперь, если положить ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$ и ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$, получим

${\displaystyle a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$, что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,

${\displaystyle {\frac {d}{ds}}u=a{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial t}}=0.}$

Как видно, вдоль характеристики ${\displaystyle (x(s),t(s))}$ исходное уравнение превращается в ОДУ ${\displaystyle u_{s}=F(u,x(s),t(s))=0}$, которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом, ${\displaystyle u(x_{s},t_{s})=u(x_{0},0)}$, где точки ${\displaystyle (x_{s},t_{s})}$ и ${\displaystyle (x_{0},0)}$ лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

• ${\displaystyle {\frac {dt}{ds}}=1}$, при ${\displaystyle t(0)=0}$ решение — ${\displaystyle t=s}$,
• ${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}=a}$, при ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$ решение — ${\displaystyle x=as+x_{0}=at+x_{0}}$,
• ${\displaystyle {\frac {du}{ds}}=0}$, при ${\displaystyle u(0)=f(x_{0})}$ решение — ${\displaystyle u(x(t),t)=f(x_{0})=f(x-at)}$.

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном ${\displaystyle a}$, и решение ${\displaystyle u}$ остается постоянным вдоль каждой из характеристик.