Метод фазовых функций

Рассмотрим рассеяние частицы без спина на сферически-симметричном потенциале ${\displaystyle V(r)}$. Уравнение Шредингера для радиальной волновой функции ${\displaystyle u_{l}(r)}$ имеет вид:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}u_{l}(r)+{\Bigl [}k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}-V(r){\Bigr ]}u_{l}(r)=0}$ (1).

Здесь ${\displaystyle k^{2}}$ — значение энергии частицы, ${\displaystyle l}$ — значение орбитального момента частицы.

Решение этого уравнения имеет вид:

${\displaystyle u_{l}(r)\approx C[j_{l}(kr)-\tan \delta _{l}n_{l}(kr)]}$

или

${\displaystyle u_{l}(r)\rightarrow Csin(kr-{\frac {l\pi }{2}}+\delta _{l}),r\rightarrow \infty }$.

Здесь ${\displaystyle j_{l}(kr)}$ и ${\displaystyle n_{l}(kr)}$ — функции Риккати-Бесселя.

Введём в рассмотрение фазовую функцию ${\displaystyle \delta _{l}(r)}$ и амплитудную функцию ${\displaystyle A_{l}(r)}$, исходя из двух условий:

${\displaystyle u_{l}(r)=A_{l}(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]}$ (2)

и

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}u_{l}(r)=A_{l}(r)[\cos \delta _{l}(r){\frac {d}{dr}}j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r){\frac {d}{dr}}n_{l}(kr)]}$ (3).

Второе условие равносильно

${\displaystyle {\frac {dA_{l}}{dr}}[\cos \delta _{l}j_{l}-\sin \delta _{l}n_{l}]-{\frac {d\delta _{l}}{dr}}A_{l}[\sin \delta _{l}j_{l}+\cos \delta _{l}n_{l}]=0}$.

Продифференцировав уравнение ${\displaystyle (3)}$, подставим выражение для второй производной ${\displaystyle u_{l}}$ вместе с уравнением ${\displaystyle (2)}$ в уравнение Шредингера ${\displaystyle (1)}$. Получим уравнение для фазовой функции ${\displaystyle \delta _{l}(r)}$:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\delta _{l}(r)=-{\frac {1}{k}}V(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]^{2}}$ (4)

и начальное условие:

${\displaystyle \delta _{l}(0)=0}$ (4).

Аналогичным образом можно получить уравнение для амплитудной функции:

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}A_{l}(r)=-{\frac {1}{k}}A_{l}(r)V(r)[\cos \delta _{l}(r)j_{l}(kr)-\sin \delta _{l}(r)n_{l}(kr)][\sin \delta _{l}(r)j_{l}(kr)+\cos \delta _{l}(r)n_{l}(kr)]}$ (5).

Фазовое уравнение ${\displaystyle (4)}$ отражает связь фазы рассеяния с потенциалом. Оно является уравнением Риккати первого порядка и удобно для применения численных методов вычислений. На основе метода фазовых функций также можно вычислять амплитуды рассеяния, элементы S-матрицы, параметры рассеяния, энергии связанных состояний, функции Грина, коэффициенты прохождения через потенциальный барьер.

• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике. — М.: Наука, 1976. — С. 287.
• Бабиков В. В. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1967.
• Герштейн С. С., Пономарёв Л. И. Метод фазовых функций в квантовой механике // УФН, № 5, 1971.
• Калоджеро Ф. Метод фазовых функций в теории потенциального рассеяния. — М.: Мир, 1972. — С. 292.