Малая теорема Фубини

Без ограничения общности можно считать все функции ${\displaystyle F'(x)}$ неотрицательными и равными нулю при ${\displaystyle x=a}$; в противном случае можно заменить ${\displaystyle F_{n}(x)}$ на ${\displaystyle F_{n}(x)-F_{n}(a)}$. Сумма ряда неубывающих функций есть, конечно, неубывающая функция.

Рассмотрим множество ${\displaystyle E}$ полной меры, на котором существуют все ${\displaystyle F_{n}'(x)}$ и ${\displaystyle F'(x)}$. При ${\displaystyle x\subset E}$ и любом ${\displaystyle \varepsilon }$ мы имеем:

${\displaystyle {\frac {\sum \limits _{n=1}^{\infty }[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}={\frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.}$

Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {\sum \limits _{n=1}^{N}[F_{n}(\varepsilon )-F_{n}(x)]}{\varepsilon -x}}\leqslant {\frac {F(\varepsilon )-F(x)}{\varepsilon -x}}.}$

Переходя к пределу при ${\displaystyle \varepsilon \to x}$, получаем:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}F_{n}'(x)\leqslant F'(x),}$

откуда, устремляя ${\displaystyle N}$ к ${\displaystyle \infty }$ и учитывая, что все ${\displaystyle F_{n}'(x)}$ неотрицательны, находим:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }F_{n}'(x)\leqslant F'(x).\qquad (2)}$

Покажем, что в действительности почти при всех ${\displaystyle x}$ здесь имеет места знак равенства. Найдём для заданного ${\displaystyle k}$ частную сумму ${\displaystyle S_{nk}(x)}$ ряда (1), для которой:

${\displaystyle 0\leqslant F(b)-S_{nk}(b)\prec {\frac {1}{2^{k}}}.\quad (k=1,\;2,\;\ldots )}$

Так как разность

${\displaystyle F(x)-S_{nk}(x)=\sum _{j\succ nk}F_{j}(x)}$ — неубывающая функция, то и для всех ${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0\leqslant F(x)-S_{nk}(x)\prec {\frac {1}{2^{k}}}}$

и, следовательно, ряд из неубывающих функций

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }[F(x)-S_{nk}(x)]}$

сходится (даже равномерно) на всём отрезке ${\displaystyle a\leqslant x\leqslant b}$.

Но тогда по доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член этого ряда ${\displaystyle F'(x)-S_{nk}'(x)}$ почти всюду стремится к нулю, и, значит, почти всюду ${\displaystyle S_{nk}'(x)\to F'(x)}$. Но если бы в неравенстве (2) стоял знак ${\displaystyle <}$, то никакая последовательность частных сумм не могла бы иметь пределом ${\displaystyle F'(x)}$. Поэтому в неравенстве (2) почти при каждом ${\displaystyle x}$ должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.