Лемма о руке

Лемма о руке — лемма в доказательстве теоремы Коши о многогранниках.

Неформально утверждение можно описать следующим образом: Представьте себе руку робота, состоящую из нескольких звеньев, соединённых суставами. Каждое звено — это отрезок, а вся рука — ломаная. Пусть вся рука робота может двигаться в одной плоскости. Предположим, в изначальном состоянии рука робота образует выпуклую ломаную, то есть такую ломаную, что если мы соединим концы ломаной, то получим выпуклый многоугольник. Допустим теперь, что робот увеличивает угол в каждом суставе. Лемма утверждает, что тогда увеличится и расстояние между началом и концом руки.

Несмотря на простоту формулировки, доказательство леммы не просто. В частности, именно в этом месте оригинальное доказательство Коши имеет ошибку. Эта ошибка оставалась незамеченной более ста лет. Она была замечена Эрнстом Штейницем, видимо, между 1920 и 1928 годами и исправлена только в 1934[1].

Формулировка

Предположим, $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ выпуклый многоугольник на евкидовой плоскости и $B_{1}B_{2}\dots B_{n}$ ломаная в плоскости или пространстве такая, что

$A_{i}A_{i+1}=B_{i}B_{i+1}$ при $i<n$ ,
$\measuredangle A_{i-1}A_{i}A_{i+1}\leq \measuredangle B_{i-1}B_{i}B_{i+1}$ при $1<i<n$ .

Тогда

A_{1}A_{n}\leq B_{1}B_{n}.

Более того, в случае равенства ломаные $A_{1}A_{2}\dots A_{n}$ и $B_{1}B_{2}\dots B_{n}$ конгруэнтны.

Вариации и обобщения

Аналогичный результат верен на сфере и плоскости Лобачевского.
Теорема Залгаллера. Если у двух сферических $n$ -гольников $A$ и $B$ соответственные стороны равны и многоугольник $A$ лежит в полусфере, то хотя бы один из углов $B$ не меньше соответственного угла $A$ .[2]

Лемма о согнутом луке[3] (или теорема Шура) — версия леммы о руке для гладких кривых:[4]
- Пусть $\gamma$ и ${\tilde {\gamma }}$ — пара гладких кривых пареметризованных длиной определённых на одном и том же интервале $[a,b]$ . Предположим, что для любого $t$ выполняется неравенство $\kappa _{\gamma }(t)\leq \kappa _{\tilde {\gamma }}(t)$ , где $\kappa _{\gamma }(t)$ и $\kappa _{\tilde {\gamma }}(t)$ обозначает кривизну $\gamma$ и соответственно ${\tilde {\gamma }}$ при $t$ . Далее предположим, что ${\tilde {\gamma }}$ есть дуга плоской выпуклой кривой, то есть она проходит вдоль границы некоторой выпуклой плоской фигуры. Тогда расстояние между концами $\gamma$ не превосходит расстояния между концаму ${\tilde {\gamma }}$ ; то есть,
  $|\gamma (b)-\gamma (a)|\geq |{\tilde {\gamma }}(b)-{\tilde {\gamma }}(a)|.$

(Лемма верна если

\gamma

есть кривая в евклидовом пространстве произвольной размерности.)

См. также

Лемма Александрова

Примечания

Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.
В. А. Залгаллер. О деформациях многоугольника на сфере // УМН. — 1956. — Т. 11, № 5(71). — С. 177—178.
Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.
Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143–148.

Литература

И. Х. Сабитов, Вокруг доказательства леммы Лежандра — Коши о выпуклых многоугольниках Сиб. матем. журн., 2004, том 45, № 4, с. 892—919
Лекция 24 в Табачников С.Л., Фукс Д.Б. Математический дивертисмент. — МЦНМО, 2011. — ISBN 978-5-94057-731-7.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Steinitz E., Rademacher H. Vorlesungen ̈uber die Theorie der Polyeder. Berlin: Springer-Verl., 1934.

[2] В. А. Залгаллер. О деформациях многоугольника на сфере // УМН. — 1956. — Т. 11, № 5(71). — С. 177—178.

[3] Топоногов, В. А. Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. — Физматкнига, 2012. — ISBN 978-5-89155-213-5.

[4] Schur, Axel; Über die Schwarzsche Extremaleigenschaft des Kreises unter den Kurven konstanter Krümmung. Math. Ann. 83 (1921), no. 1-2, 143–148.