Лемма Александрова

Зафиксируем вещественное число ${\displaystyle k}$ и обозначим через ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ модельную плоскость кривизны ${\displaystyle k}$. То есть

• ${\displaystyle \mathbb {M} [0]}$ есть евклидова плоскость,
• ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ при ${\displaystyle k>0}$ есть сфера радиуса ${\displaystyle 1/{\sqrt {k}}}$,
• ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ при ${\displaystyle k<0}$ есть плоскость Лобачевского кривизны ${\displaystyle k}$.

Пусть ${\displaystyle XPYQ}$ и ${\displaystyle X'P'Y'Q'}$ — два четырёхугольника в ${\displaystyle \mathbb {M} [k]}$ с равными соответствующими сторонами. Предположим, точки ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ лежат по разные стороны от прямой ${\displaystyle XY}$, точка ${\displaystyle Q'}$ лежит на кратчайшей ${\displaystyle X'Y'}$. Тогда следующие выражения имеют один и тот же знак:

• ${\displaystyle \measuredangle PQX+\measuredangle PQY-\pi }$
• ${\displaystyle P'Q'-PQ}$

Лемма появляется в книге Александров, А. Д. Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей. — Теортехиздат, 1948.

• Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.