Лемма Гензеля

Лемма Гензеля — результат в модульной арифметике, утверждающий, что если алгебраическое уравнение имеет простой корень по модулю простого числа $p$ , то данному корню однозначно соответствует корень того же уравнения, взятого по модулю $p^{k}$ , который может быть найден итеративным подъёмом по степеням $p$ . Названа в честь Курта Гензеля. В более общем случае, лемма Гензеля также используется как обоснование для аналогов метода Ньютона в полных коммутативных кольцах (в частности, в p-адических числах).

Формулировка

Существует множество эквивалентных формулировок леммы Гензеля.

Общая формулировка

Пусть $K$ — поле, полное относительно дискретного нормирования $v$ , а ${\mathcal {O}}_{K}$ — кольцо целых поля $K$ (то есть, элементов с неотрицательным нормированием). Пусть $\pi \in K$ — некоторый элемент $K$ , такой что $v(\pi )=1$ , обозначим соответствующее ему поле вычетов как $k={\mathcal {O}}_{K}/\pi$ . Пусть $f(X)\in {\mathcal {O}}_{K}[X]$ — некоторый многочлен с коэффициентами из ${\mathcal {O}}_{K}$ . Если у редуцированного многочлена ${\overline {f}}(X)\in k[X]$ есть простой корень (то есть, существует $k_{0}\in k$ такой что ${\overline {f}}(k_{0})=0$ и ${\overline {f'}}(k_{0})\neq 0$ ), то существует единственный $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ , такой что $f(a)=0$ и ${\overline {a}}=k_{0}$ [1].

Альтернативная формулировка

В менее общем виде лемма формулируется следующим образом: пусть $f(x)$ — многочлен с целыми (или p-адическими целыми) коэффициентами. Пусть также $m$ и $k$ — целые числа, такие что $0<m\leq k$ . Если $r$ — целое число, такое что

f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}\quad {\text{и}}\quad f'(r)\not \equiv 0{\pmod {p}},

то существует целое число $s$ , такое что

f(s)\equiv 0{\pmod {p^{k+m}}}\quad {\text{и}}\quad r\equiv s{\pmod {p^{k}}}.

Более того, число $s$ определено однозначно по модулю $p^{k+m}$ и может быть выражено в явном виде как

s=r-f(r)\cdot a,

где $a$ — целое число, такое что

a\equiv [f'(r)]^{-1}{\pmod {p^{m}}}.

Следует заметить, что, в силу $f(r)\equiv 0{\pmod {p^{k}}}$ , также выполнено условие $s\equiv r{\pmod {p^{k}}}$ .

Пример

Рассмотрим уравнение $x^{2}\equiv x{\pmod {10^{k}}}$ , определяющее автоморфные числа длины $k$ в десятичной системе счисления. Его можно рассматривать в виде эквивалентной системы двух уравнений по модулю степеней простых чисел:

{\begin{cases}x^{2}\equiv x{\pmod {2^{k}}},\\x^{2}\equiv x{\pmod {5^{k}}}\end{cases}}

При $k=1$ решениями уравнения являются числа, заканчивающиеся на $0$ , $1$ , $5$ или $6$ . Чтобы получить решения для больших $k$ , можно воспользоваться леммой Гензеля, считая, что $f(x)=x^{2}-x$ .

По приведённым выше формулам, переход от $p^{k}$ к $p^{k+m}$ для $m\leq k$ будет иметь следующий вид:

{\textstyle s=r-(r^{2}-r)\cdot (2r-1)^{-1}={\frac {r^{2}}{2r-1}}{\pmod {p^{k+m}}}}

При этом следует заметить, что, так как $r^{2}\equiv r{\pmod {p^{k}}}$ , также выполнено $(2r-1)^{2}\equiv 4r-4r+1\equiv 1{\pmod {p^{k}}}$ , поэтому вместо деления в указанной формуле можно обойтись умножением:

{\textstyle s=r^{2}(2r-1){\pmod {p^{k+m}}}}

В данной формуле если $r$ равно $0$ или $1$ , то $s$ будет равно этому же числу. Для чисел же, заканчивающихся на $5$ или $6$ формула позволяет итеративно находить новые решения уравнения.

Например, $625^{2}=390\,625\equiv 625{\pmod {10^{3}}}$ . Отсюда можно прийти к тому, что $625^{2}(2\cdot 625-1)=487\,890\,625\equiv 890\,625{\pmod {10^{6}}}$ является решением уравнения по модулю $10^{6}$ . И действительно,

{\textstyle 890\,625^{2}=793\,212\,890\,625\equiv 890\,625{\pmod {10^{6}}}}

См. также

Теорема Минковского — Хассе

Примечания

Serge Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43

Литература

Eisenbud, David (1995), Commutative algebra, vol. 150, Graduate Texts in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94269-8, DOI 10.1007/978-1-4612-5350-1
Milne, J. G. (1980), Étale cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Serge Lang, Algebraic Number Theory, Addison-Wesley Publishing Company, 1970, p. 43