Коэффициент формы

Для функции ${\displaystyle x(t)}$, конечной и непрерывной на интервале времени T, среднеквадратичное значение на этом отрезке времени может быть вычислено с помощью интеграла:

${\displaystyle X_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[x(t)]}^{2}\,dt}}}}$

Средний модуль вычисляется с помощью интеграла от абсолютного значения на том же промежутке:

${\displaystyle X_{\mathrm {arv} }={1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}$

Отношение этих двух величин и есть коэффициент формы, обозначаемый обычно ${\displaystyle k_{\mathrm {f} }}$.

${\displaystyle k_{\mathrm {f} }={X_{\mathrm {rms} } \over X_{\mathrm {arv} }}={\frac {\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{[x(t)]}^{2}\,dt}}}{{1 \over {T}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}={\frac {\sqrt {T\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{{[x(t)]}^{2}\,dt}}}{\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}{|x(t)|\,dt}}}}$

Хотя оба средних значения (и ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} }}$, и ${\displaystyle X_{\mathrm {arv} }}$) характеризуют расстояние кривой от нуля, среднеквадратичное значение ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} }}$ отражает также изменчивость этого расстояния, так как большие и маленькие отклонения от нуля вносят непропорциональные вклады в него.

Среднеквадратичное значение ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} }}$ всегда бывает больше или равно ${\displaystyle X_{\mathrm {arv} }}$. Поэтому коэффициент формы не может быть меньше 1 и не имеет теоретического верхнего предела.

Если сложный периодический сигнал можно представить как сумму N синусоидальных сигналов (гармоник) разной частоты, то среднеквадратичное значение сложного сигнала может быть вычислено так:

${\displaystyle X_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{{X_{\mathrm {rms1} }}^{2}}+{{X_{\mathrm {rms2} }}^{2}}+...+{{X_{\mathrm {rmsN} }}^{2}}}}}$

В то же время средний модуль сложного сигнала просто равен сумме средних модулей гармоник: ${\displaystyle X_{\mathrm {arv} }=X_{\mathrm {arv1} }+X_{\mathrm {arv2} }+...+X_{\mathrm {arvN} }}$.

Поэтому коэффициент формы сложного периодического сигнала можно вычислить по формуле:

${\displaystyle k_{\mathrm {f} _{\mathrm {tot} }}={X_{\mathrm {rms} } \over X_{\mathrm {arv} }}={\frac {\sqrt {{{X_{\mathrm {rms1} }}^{2}}+{{X_{\mathrm {rms2} }}^{2}}+...+{{X_{\mathrm {rmsN} }}^{2}}}}{X_{\mathrm {arv1} }+X_{\mathrm {arv2} }+...+X_{\mathrm {arvN} }}}}$.

Цифровые инструменты для измерения переменного тока часто создаются с расчётом на определённую форму зависимости от времени. Например, многие цифровые мультиметры переменного тока, показывающие среднеквадратичное значение тока, на самом деле вычисляют средний модуль тока и умножают его на коэффициент формы для синусоидального тока. Хотя этот метод проще, он приводит к ошибкам для несинусоидальных токов.

И вычисление квадрата в ${\displaystyle X_{\mathrm {rms} }}$, и вычисление модуля в ${\displaystyle X_{\mathrm {arv} }}$ приводят к независимости от знака функции. Поэтому, коэффициент формы тока переменного направления, если его среднее значение равно нулю, останется тем же после его полного выпрямления.

Коэффициент формы ${\displaystyle k_{\mathrm {f} }}$ является наименьшим из трёх волновых коэффициентов, другие два - это ${\displaystyle k_{\mathrm {a} }={\frac {X_{\mathrm {max} }}{X_{\mathrm {rms} }}}}$ и ${\displaystyle k_{\mathrm {av} }={\frac {X_{\mathrm {max} }}{X_{\mathrm {arv} }}}}$, где X_\mathrm{max} - наибольшее значение функции на том же интервале времени.

${\displaystyle k_{\mathrm {av} }\geq k_{\mathrm {a} }\geq k_{\mathrm {f} }}$[1]

Эти три коэффициента связаны соотношением ${\displaystyle k_{\mathrm {av} }=k_{\mathrm {a} }k_{\mathrm {f} }}$, поэтому коэффициент формы может быть вычислен так: ${\displaystyle k_{\mathrm {f} }={\frac {k_{\mathrm {av} }}{k_{\mathrm {a} }}}}$.

Обозначим буквой ${\displaystyle a}$ максимальное отклонение функции от нуля (для некоторых функций эта величина совпадает с амплитудой). Например, ${\displaystyle 8\sin(t)}$ можно представить как ${\displaystyle f(t)=a\sin(t),\ a=8}$. Так как и среднеквадратичное значение, и средний модуль пропорциональны этой величине, то она не влияет на коэффициент формы и может быть заменена на 1 при его вычислении.

Обозначим ${\displaystyle D={\frac {\tau }{T}}}$ коэффициент заполнения, то есть отношение времени импульса ${\displaystyle \tau }$ (когда функция не равна нулю) к периоду ${\displaystyle T}$. Многие простейшие периодические функции достигают нуля лишь на бесконечно короткие мгновенья, и для них ${\displaystyle \tau =T,D=1}$.

Форма сигнала	График	Среднеквадратичное значение	Средний модуль	Коэффициент формы
Синусоида		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle a{\frac {2}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}\approx 1.11072073}$
Полувыпрямленная синусида		${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\approx 1.5707963}$
Выпрямленная синусоида		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {2}}}}$	${\displaystyle a{\frac {2}{\pi }}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}}$
Меандр		${\displaystyle a}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle {\frac {a}{a}}=1}$
Прямоугольный однонаправленный сигнал		${\displaystyle a{\sqrt {D}}}$	${\displaystyle aD}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {D}}}={\sqrt {\frac {T}{\tau }}}}$
Треугольная волна		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 1.15470054}$
Пилообразный сигнал		${\displaystyle {\frac {a}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$
Аддитивный белый гауссовский шум U(-1,1)		${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {3}}}}$