Кошмар Фубини
Кошмар Фубини — название кажущегося нарушения теоремы Фубини в не-абсолютно непрерывных слоениях с гладкими слоями. Состоит в том, что множество в расслоенном пространстве, пересекающее все слои по множеству меры ноль (или даже вообще по отдельным точкам), может, тем не менее, иметь положительную (и даже полную) меру в объемлющем пространстве. Такой эффект, на самом деле, теореме Фубини не противоречит, поскольку выпрямляющее отображение слоения не является абсолютно непрерывным.
Существование «кошмара Фубини» затрудняет проведение доказательств для частично-гиперболических динамических систем «послойно» по слоям центрального слоения: это слоение обычно лишь гёльдерово, но не абсолютно непрерывно.
Иллюстративная версия кошмара Фубини была предложена Анатолием Борисовичем Катком и опубликована Джоном Милнором[1]. Динамическая реализация такого примера была построена для случая центрального слоения в работе Эмили Вилкинсон и Майкла Шуба[2].
Конструкция Катка
Слоение
Для любого можно рассмотреть кодирование точек отрезка последовательностями нулей и единиц, с делением очередного отрезка в отношении . (Как и при обычном кодировании, при этом будет иметь место отождествление с хвостом из единиц и с хвостом из нулей.)
Точка, кодирующаяся данной последовательностью , может быть несложно задана явно: отрезок, полученный после первых делений, имеет длину поэтому соответствующая точка равна
![](../I/Fubini_Nightmare_foliation_Katok_example.svg.png.webp)
Для фиксированной последовательности отображение аналитично. Последнее следует из теоремы Вейерштрасса так как ряд задающий сходится равномерно на компактах внутри пересечения кругов .
Поэтому разбиение квадрата на графики по переменной отображений — кривые , с параметром , пробегающим , — слоение на аналитические кривые.
Множество
При любом фиксированном , цифры кодирования случайной (выбираемой в соответствии с мерой Лебега) точки — независимые бернуллевские случайные величины, принимающие значение с вероятностью и с вероятностью .
В силу закона больших чисел, при любом для почти всех выполнено
Из теоремы Фубини тогда вытекает, что множество
имеет полную меру Лебега в квадрате .
Однако для любой фиксированной последовательности предел её чезаровских средних, если он существует, единственен. Поэтому любая кривая либо вообще не пересекает множество (если предела нет), либо пересекает в единственной точке где
Таким образом, для построенных слоения и множества имеет место «кошмар Фубини».
Конструкция Вилкинсон — Шуба
Вилкинсон и Шуб рассматривали диффеоморфизмы, являющиеся малыми возмущениями диффеоморфизма трёхмерного тора , где — диффеоморфизм Аносова. Это отображение, а, значит, и близкие к нему частично гиперболичны. Более того, центральные слои возмущённых отображений будут являться гладкими окружностями, близкими к исходным.
Возмущение Вилкинсон — Шуба, которое берётся в классе сохраняющих меру Лебега отображений, делало диффеоморфизм эргодичным, но при этом центральный показатель Ляпунова становился ненулевым. С точностью до обращения, его можно считать положительным. Тогда множество точек, центральный показатель Ляпунова для которых положителен, имеет в полную меру Лебега.
С другой стороны, центральные слои-окружности имеют ограниченную сверху длину, поэтому на каждой из них множество точек, в которых происходит растяжение в центральном направлении, обязано иметь меру ноль. Более тонкие рассуждения показывают, что, более того, это множество обязано состоять из конечного числа точек, то есть имеет место «кошмар Фубини».
Примечания
- J. Milnor, Fubini foiled: Katok’s paradoxical example in measure theory. Math. Intelligencer 19 (1997), no. 2, 30—32.
- M. Shub, A. Wilkinson, Pathological foliations and removable zero exponents, Invent. math. 139 (2000), 495—508.