Конциклические точки

Конциклические точки (или гомоциклические точки) — точки, находящиеся на одной окружности. Три точки на плоскости, не лежащие на одной прямой, всегда лежат на одной окружности, поэтому иногда термин «конциклические» прилагают только к наборам из 4 или более точек.[1]

Пересекающиеся в центре срединные перпендикуляры, проведённые к хордам круга, соединяющим всевозможные пары трёх конциклических точек
Четыре конциклические точки, являющиеся сторонами вписанного в окружность четырехугольника. На рис. показаны два равных угла

Серединные перпендикуляры

В общем случае центр O окружности, на которой лежат точки P и Q, должен быть таким, чтобы расстояния OP и OQ были равны . Поэтому точка O должна лежать на срединном перпендикуляре (или на медиатрисе) отрезка PQ.[2]. Необходимым и достаточным условием того, чтобы n различных точек лежали на одной окружности является то, что n(n − 1)/2 медиатрис отрезков, имеющих своими концами любые пары из n точек, все одновременно пересекались в одной точке, а именно: в центре O.

Вписанные многоугольники

Треугольники

Вершины каждого треугольника лежат на окружности[3]. Окружность, проходящая через 3 вершины треугольника, называется описанной окружностью треугольника. Несколько других наборов точек, которые определяются из треугольника, также лежат на одной окружности, то есть являются конциклическими точками; см. Окружность Эйлера[4] и Окружность Лестера.[5]

Радиус окружности, на которой находятся множество точек, по определению, есть радиус описанной окружности любого треугольника с вершинами в любых трёх из этих точек. Если попарные расстояния между любыми тремя из этих точек a, b и c, то радиус окружности равен

Уравнение описанной окружности для треугольника, и выражение для радиуса и координат центра окружности через декартовы координаты вершин приведены здесь.

Четырехугольники

Четырехугольник ABCD с вершинами, лежащими на одной окружности, называется вписанным; это бывает тогда и только тогда, когда (по теореме о вписанном угле окружности), что выполняется если и только если противоположные углы четырёхугольника дополняют друг друга до 180 градусов.[6] Вписанный четырёхугольник с последовательными сторонами a, b, c, d и полупериметром s = (a+b+c+d)/2 имеет радиус описанной окружности, равный[7][8]

Это выражение было получено индийским математиком Ватассери Парамешвара в XV веке.

По теореме Птолемея, четырёхугольник, заданный попарными расстояниями между его четырьмя вершинами A, B, C и D соответственно, будет вписанным тогда и только тогда, когда произведение его диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон:

Если две прямые, одна из которых содержит отрезок AC, а другая содержит отрезок BD, пересекаются в одной точке «Х», то эти четыре точки A, B, C, D являются конциклическими точками тогда и только тогда, когда[9]

Точка пересечения X может быть как внутри, так и вне описанного круга. Эта теорема известна как теорема о степени точки.

n-угольники

В общем случае n-угольник, все вершины которого лежат на одной окружности, называется вписанным многоугольником. Многоугольник является вписанным многоугольником, если и только если все серединные перпендикуляры его сторон пересекаются в одной точке.[10]

Примечания
  1. Ефремов, 1902, с. 34.
  2. Libeskind, Shlomo (2008), Euclidean and Transformational Geometry: A Deductive Inquiry, Jones & Bartlett Learning, с. 21, ISBN 9780763743666, <https://books.google.com/books?id=6YUUeO-RjU0C&pg=PA21>/
  3. Elliott, John (1902), Elementary Geometry, Swan Sonnenschein & co., с. 126, <https://books.google.com/books?id=9psBAAAAYAAJ&pg=PA126>.
  4. Isaacs, I. Martin (2009), Geometry for College Students, vol. 8, Pure and Applied Undergraduate Texts, American Mathematical Society, с. 63, ISBN 9780821847947, <https://books.google.com/books?id=0ahK8UneO3kC&pg=PA63>.
  5. Yiu, Paul (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations, Forum Geometricorum Т. 10: 175–209, <http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201020.pdf>.
  6. Pedoe, Dan (1997), Circles: A Mathematical View (2nd ed.), MAA Spectrum, Cambridge University Press, с. xxii, ISBN 9780883855188, <https://books.google.com/books?id=rlbQTxbutA4C&pg=PR22>.
  7. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), On the diagonals of a cyclic quadrilateral, Forum Geometricorum Т. 7: 147–9, <http://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf>
  8. Hoehn, Larry (March 2000), Circumradius of a cyclic quadrilateral, Mathematical Gazette Т. 84 (499): 69–70
  9. Bradley, Christopher J. (2007), The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates, Highperception, с. 179, ISBN 1906338000, OCLC 213434422
  10. Byer, Owen; Lazebnik, Felix & Smeltzer, Deirdre L. (2010), Methods for Euclidean Geometry, Mathematical Association of America, с. 77, ISBN 9780883857632, <https://books.google.com/books?id=W4acIu4qZvoC&pg=PA77>.

Литература
  • Ефремов Дм. Новая геометрия треугольника. — Одесса, 1902.
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.