Квадратура круга Тарского

Возможно ли разрезать круг на конечное количество частей и собрать из них квадрат такой же площади? Или, более формально, можно ли разбить круг на конечное количество попарно непересекающихся подмножеств и передвинуть их так, чтобы получить разбиение квадрата такой же площади на попарно непересекающиеся подмножества?

Задача сформулирована Альфредом Тарским в 1925 году.

В 1990 году (уже спустя 7 лет после смерти Тарского) возможность такого разбиения доказал венгерский математик Миклош Лацкович. Доказательство Лацковича опирается на аксиому выбора. Найденное разбиение состоит из примерно 10⁵⁰ частей, которые являются неизмеримыми множествами и границы которых не являются жордановыми кривыми. Для перемещения частей достаточно использовать только параллельный перенос, без поворотов и отражений. Кроме того, Лацкович доказал, что аналогичное преобразование возможно между кругом и любым многоугольником.

В 2005 году Тревор Уилсон доказал, что существует требуемое разбиение, при котором части можно сдвигать параллельным переносом таким образом, чтобы они всё время оставались непересекающимися.

В 2017 году Эндрю Маркс и Спенсер Унгер нашли полностью конструктивное решение задачи Тарского с разбиением на борелевские куски[1].

• Парадокс Банаха — Тарского
• Квадратура круга

• Hertel, Eike & Richter, Christian (2003), Squaring the circle by dissection, Beiträge zur Algebra und Geometrie Т. 44 (1): 47–55, <http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.44/no.1/b44h1her.pdf> Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine.
• Laczkovich, Miklós (1990), Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik Т. 404: 77–117, DOI 10.1515/crll.1990.404.77.
• Laczkovich, Miklós (1994), Paradoxical decompositions: a survey of recent results, Proc. First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), vol. 120, Progress in Mathematics, Basel: Birkhäuser, с. 159–184.
• Tarski, Alfred (1925), Probléme 38, Fundamenta Mathematicae Т. 7: 381.
• Wilson, Trevor M. (2005), A continuous movement version of the Banach–Tarski paradox: A solution to De Groot's problem, Journal of Symbolic Logic Т. 70 (3): 946–952, DOI 10.2178/jsl/1122038921.