Калибровочная симметрия (математика)

В математике любая лагранжева система допускает калибровочные симметрии, возможно, тривиальные. В теоретической физике понятие калибровочной симметрии, зависящей от параметров, являющихся функциями координат, является краеугольным камнем современной теории поля.

Калибровочная симметрия лагранжиана ${\displaystyle L}$ определяется как дифференциальный оператор на некотором векторном расслоении ${\displaystyle E}$, принимающий значения в линейном пространстве (вариационных или точных) симметрий ${\displaystyle L}$. Поэтому калибровочная симметрия лагранжиана ${\displaystyle L}$ зависит от сечений расслоения ${\displaystyle E}$ и их частных производных. Например, это случай калибровочных симметрий в классической теории поля, например, в калибровочной теории Янга — Миллса и калибровочной теории гравитации. Калибровочные симметрии обладают следующими двумя важными особенностями.

Во-первых, будучи лагранжевой симметрией, калибровочная симметрия лагранжевой системы удовлетворяет первой теореме Нётер, но соответствующий сохраняющийся ток симметрии ${\displaystyle J^{\mu }}$ принимает вид

${\displaystyle J^{\mu }=W^{\mu }+d_{\nu }U^{\nu \mu }}$,

где первое слагаемое ${\displaystyle W^{\mu }}$ обращается в ноль на решениях уравнения Эйлера — Лагранжа, а второе слагаемое сводится к дивергенции, где ${\displaystyle U^{\nu \mu }}$ называется суперпотенциалом.

Во-вторых, в соответствии со второй теоремой Нётер имеет место взаимно однозначное соответствие между калибровочными симметриями лагранжиана и тождествами Нётер, которым подчиняется оператор Эйлера - Лагранжа. Таким образом, калибровочные симметрии характеризуют вырожденность лагранжевой системы.