Иррациональная последовательность
В математике последовательность целых положительных чисел an называется иррациональной последовательностью, если она обладает свойством, что для любой последовательности xn положительных целых чисел сумма последовательности
существует и является иррациональным числом[1][2]. Задача описания иррациональных последовательностей поставлена Палом Эрдёшем и Эрнстом Страусом, которые первоначально называли свойство быть иррациональной последовательностью «Свойством P»[3].
Примеры
Степени двойки образуют иррациональную последовательность. Тем не менее, хотя последовательность Сильвестра
(в которой каждый член на единицу больше произведения всех предыдущих членов) также растёт со скоростью двойной экспоненты, она не образует иррациональную последовательность. Если положить , получим
которая сходится к рациональному числу. Подобным же образом факториалы не образуют иррациональную последовательность, поскольку последовательность приводит к последовательности с рациональной суммой
- [1].
Скорость роста
Любая последовательность an, которая растёт со скоростью, такой что
является иррациональной последовательностью. Сюда входят последовательности, которые растут быстрее двойной экспоненты, как и некоторые двойные экспоненциальные последовательности растущие быстрее, чем степень степени двух[1].
Любая иррациональная последовательность должна расти достаточно быстро, так что
Однако не известно, существует ли такая последовательность, в которой НОД любой пары множителей равен 1 (в отличие от степени степени двух) и для которой
- [4].
Связанные свойства
По аналогии с иррациональными последовательностями, Ханчл (Hančl 1996) определил трансцендентные последовательности как последовательности целых чисел an, такие, что для любой последовательности xn положительных целых чисел сумма последовательности
существует и является трансцендентным числом[5].
Примечания
- Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory // 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — С. 346. — ISBN 0-387-20860-7.
- P. Erdős, R. L. Graham. Old and new problems and results in combinatorial number theory. — Geneva: Université de Genève L'Enseignement Mathématique, 1980. — Т. 28. — (Monographies de L'Enseignement Mathématique).
- P. Erdős. Some problems and results on the irrationality of the sum of infinite series // Journal of Mathematical Sciences. — 1975. — Т. 10. — С. 1—7 (1976).
- P. Erdős. New advances in transcendence theory (Durham, 1986). — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1988. — С. 102—109.
- Jaroslav Hančl. Transcendental sequences // Mathematica Slovaca. — 1996. — Т. 46, вып. 2—3. — С. 177—179.