Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннона

График сигнала с ограниченной полосой частот в зависимости от функции частоты. С двух сторон пропускная способность ${\displaystyle \scriptstyle {R_{N}=2B}}$ известна как частота Найквиста для сигнала.

Есть два граничных условия, которым должна удовлетворить функция ${\displaystyle X(t)}$, для того чтобы выполнялась интерполяционная формула:

1. ${\displaystyle x(t)}$ должно быть ограничено. Преобразование Фурье для функции ${\displaystyle x(t)}$ должно обладать следующим свойством: ${\displaystyle {\mathcal {F}}\{x(t)\}=X(f)=0}$ для ${\displaystyle |f|>B}$, где ${\displaystyle B>0}$.
2. Частота дискретизации ${\displaystyle f_{s}}$ должна по крайней мере более чем в два раза превышать диапазон частот, ${\displaystyle f_{s}>2B}$, или что эквивалентно:

${\displaystyle T<{\frac {1}{2B}},}$

где ${\displaystyle T}$ — период дискретизации.

Интерполяционная формула воссоздаёт оригинальный сигнал ${\displaystyle x(t)}$ только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные — алиасинг.

Интерполяционная формула выведенная в теореме Котельникова указывает на то что, она также может быть выражена как свёртка «гребёнки» Дирака с sinc-функцией:

${\displaystyle x(t)=\left(\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot \delta (t-nT)\right)*\mathrm {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right).}$

Это эквивалентно фильтрации «гребёнкой» Дирака с помощью идеального низкочастотного фильтра.

Интерполяционная формула всегда сходится, конечно и локально равномерно при условии:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} ,\;n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty .}$

Неравенство Гёльдера считается выполненным, если последовательность ${\displaystyle \{x[n]\}_{n\in \mathbb {Z} }}$ принадлежит к любому из ${\displaystyle \ell ^{p}(\mathbb {Z} ,\;\mathbb {C} )}$-пространств, где ${\displaystyle 1<p<\infty }$, что эквивалентно условию:

${\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|x[n]|^{p}<\infty .}$

Это условие достаточно, но не необходимо.

Если ${\displaystyle \{x(n)\}}$ — бесконечная последовательность отсчётов дискретной функции в широком смысле стационарного процесса, и она не является членом любого ${\displaystyle \ell ^{p}}$ или ${\displaystyle L^{p}}$-пространства, с вероятностью 1; то сумма этих отсчётов, возведённых в степень ${\displaystyle p}$, не принимает конечного ожидаемого значения. Несмотря на то, что интерполяционная формула сходится с вероятностью 1. Сходимость легко может быть показана путём расчёта разницы в ограниченных условиях суммирования, и свидетельствует о том, что разницу можно сделать сколь угодно малой при выборе достаточного количества условий. Если этот процесс отличен от нуля, тогда пары условий должны быть учтены таким образом, чтобы показать, что ожидаемое значение из ограниченных выражений сходится к нулю.

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к оригинальной функции, должно также быть другим. Неизменный случайный процесс имеет автокорреляционную функцию и, следовательно, монохроматическую плотность в соответствии с теоремой Винера — Хинчина. Достаточным условием сходимости к дискретной функции от этого процесса является то, что спектральная плотность равна нулю на всех частотах, больше либо равных половины дискретизации.