Инвариант Шварца

• Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт имеет большое принципиальное значение. Действительно, если вторая производная определяет меру близости дифференцируемой функции к линейной, то инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейной функции.
• Если ${\displaystyle f}$ — аналитическая функция, а ${\displaystyle g}$ — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение ${\displaystyle (Sf)(z)=(S(g\circ f))(z)}$, то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,

${\displaystyle (S(f\circ g))(z)=(Sf)(g(z))\cdot g'(z)^{2}.}$

Таким образом выражение^{[прояснить]}

${\displaystyle (S(f))(z)\ dz^{\otimes 2}}$

инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.

• Более общим образом, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g

${\displaystyle S(f\circ g)=\left(S(f)\circ g\right)\cdot (g')^{2}+S(g).}$

• Введём функцию от двух комплексных переменных

${\displaystyle F(z,w)=\log \left({\frac {f(z)-f(w)}{z-w}}\right)}$.

Рассмотрим выражение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F(z,w)}{\partial z\,\partial w}}={f^{\prime }(z)f^{\prime }(w) \over (f(z)-f(w))^{2}}-{1 \over (z-w)^{2}}}$.

Производная Шварца выражается формулой

${\displaystyle (Sf)(z)=\left.6\cdot {\partial ^{2}F(z,w) \over \partial z\partial w}\right\vert _{z=w}.}$

• Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z

${\displaystyle (Sf)(z)=-\left({\frac {df}{dz}}\right)^{2}(Sz)(f)}$.

Выражение ${\displaystyle (Sz)(f)}$ имеет следующий смысл: мы рассматриваем ${\displaystyle f}$ как координату, а ${\displaystyle z(f)}$ как функцию. Затем вычисляем Шварциан ${\displaystyle z(f)}$. Мы предполагаем, что ${\displaystyle f'\neq 0}$ поэтому по теореме об обратной функции ${\displaystyle f}$ действительно является локальной координатой, а ${\displaystyle z'(f)=1/f'(z)}$ (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида ${\displaystyle {\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+Q(z)f(z)=0}$. Тогда его два линейно независимых решения ${\displaystyle f_{1}}$ и ${\displaystyle f_{2}}$ удовлетворяют соотношению ${\displaystyle \left(S{\frac {f_{1}}{f_{2}}}\right)(z)=2Q(z)}$.