Иммунное множество

Простейшее иммунное множество натуральных чисел может быть построено следующим образом. Зафиксируем некоторую нумерацию всех частично рекурсивных функций одной переменной, и рассмотрим отвечающий этой нумерации двухместный предикат ${\displaystyle T(x,\;y)}$ , выражающий условие «частично рекурсивная функция с номером ${\displaystyle x}$ применима к натуральному числу ${\displaystyle y}$ ». В таком случае дополнение ${\displaystyle I\rightleftharpoons \mathbb {N} \setminus C}$ множества

${\displaystyle C\rightleftharpoons \{x\in \mathbb {N} \mid (\exists y)\;(2y<x)\land (T(y,\;x)\land ((\forall z)\;T(y,\;z)\supset ((z\leqslant 2y)\lor (z\geqslant x))))\}}$

является иммунным множеством. Действительно, для любого натурального числа ${\displaystyle n}$ множество ${\displaystyle C}$ содержит не более ${\displaystyle n}$ чисел, меньших числа ${\displaystyle 2n}$ , а потому множество ${\displaystyle I}$ бесконечно. С другой стороны, любое перечислимое подмножество ${\displaystyle M}$ множества ${\displaystyle I}$ является областью определения некоторой частично рекурсивной функции одной переменной. Этой функции соответствует некоторый номер ${\displaystyle n}$ при фиксированной нами нумерации — что, ввиду характера построения множества ${\displaystyle C}$ , означает невозможность для множества ${\displaystyle M}$ содержать числа, превосходящие ${\displaystyle 2n}$ . Тем самым, множество ${\displaystyle M}$ конечно.

• Арифметическое множество

• Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — М.:Мир, 1972.