Идеальное число

Пусть y — корень уравнения y² + y + 6 = 0, тогда кольцо целых чисел поля ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ — это ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$, то есть все выражения вида a + by, где a и b — элементы кольца целых чисел. Пример неглавного идеала в таком кольце — 2a + yb, где a и b — целые числа; куб этого идеала — главный, группа класса — циклическая порядка 3. Соответствующее поле класса получается присоединением всех элементов w вида w³ − w − 1 = 0 к ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$, что даёт ${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$. Идеальное число неглавного идеала 2a + yb — это ${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$. Так как оно удовлетворяет уравнению ${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$, то оно алгебраическое целое число.

Все элементы кольца целых чисел поля классов, при умножении на ι дающие ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ имеют вид aα + bβ, где

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

и

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

Коэффициенты α и β также алгебраические целые числа, удовлетворяющие

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

и

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

соответственно. Умножая aα + bβ на идеальное число ι, получаем 2a + by, что является неглавным идеалом.

Куммер впервые написал о возможности неединственного разложения на множители в циклотомических (круговых) полях в 1844 году в малоизвестном журнале; статья была повторена в 1847 году в журнале Лиувилля. В дальнейших работах в 1846 году и 1847 году он опубликовал свою основную теорему о единственности разложения на (действительные и идеальные) простые множители.

Считается, что Куммер пришел к идее «идеальных комплексных чисел» при изучении Великой теоремы Ферма; рассказывают даже, что Куммер, как и Ламэ, считал, что доказал Великую теорему Ферма, пока Дирихле не сказал ему, что его доводы опираются на единственность факторизации; но эта история была впервые рассказана Куртом Гензелем в 1910 и, скорее всего, произошла из ошибки в одном из источников Гензеля. Гарольд Эдвардс сказал, что «вера в то, что Куммер всерьез интересовался Последней теоремой Ферма, несомненно ошибочна».

Обобщение идей Куммера было осуществлено Кронекером и Дедекиндом в течение следующих сорока лет. Прямое обобщение столкнулось с серьёзными трудностями, что привело Дедекинда к созданию теории модулей и идеалов. Кронекер справился с трудностями, развив теорию форм (обобщение квадратичных форм) и теорию дивизоров. Работы Дедекинда легли в основу теории колец и общей алгебры, а работы Кронекера создали главный инструмент алгебраической геометрии.

• Идеал
• Совершенное число

• Николя Бурбаки, Элементы истории математики. Springer-Verlag, NY, 1999.
• Гарольд М. Эдвардс, Последняя теорма Ферма. Общее введение в теорию чисел. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• К. Г. Якоби, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
• E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reprinted in Jour. de Math. 12 (1847) 185—212.
• E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327—367.
• Джон Стилвелл, введение в Теорию алгебраических целых чисел Ричарда Дедекинда. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Great Britain, 1996.

• Идеальные числа, Доказательство того, что теория идеальных чисел сохраняет единственность факторизации для циклотомических целых чисел, в блоге Великой теоремы Ферма.