Дифферинтеграл Римана — Лиувилля

Пусть ${\displaystyle (a,\;b)}$ — фиксированный ограниченный интервал. Оператор ${\displaystyle I^{\alpha }}$ отображает любую интегрируемую функцию ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle (a,\;b)}$ в функцию ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ на ${\displaystyle (a,\;b)}$, которая также интегрируем по теореме Фубини. Таким образом, ${\displaystyle I^{\alpha }}$ определяет линейный оператор на пространстве ${\displaystyle L^{1}(a,\;b)}$:

${\displaystyle I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).}$

Из теоремы Фубини также следует, что этот оператор непрерывен относительно структуры банахова пространства на ${\displaystyle L^{1}}$. Таким образом, верно следующее неравенство:

${\displaystyle \|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

Здесь ${\displaystyle \|\cdot \|_{1}}$ обозначает норму в ${\displaystyle L^{1}(a,\;b)}$.

В более общем случае, из неравенства Гёльдера следует, что если ${\displaystyle f}$ принадлежит ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$, то и ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ также принадлежит ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ и выполняется аналогичное неравенство:

${\displaystyle \|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|b-a|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p}}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},}$

где ${\displaystyle \|\cdot \|_{p}}$ — норма в пространстве ${\displaystyle L^{p}}$ на интервале ${\displaystyle (a,\;b)}$. Таким образом, ${\displaystyle I^{\alpha }}$ определяет ограниченный линейный оператор из ${\displaystyle L^{p}(a,\;b)}$ в себя. Более того, ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ стремится к ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle L^{p}}$-смысле при ${\displaystyle \alpha \to 0}$ вдоль вещественной оси. То есть:

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

для всех ${\displaystyle p\leqslant 1}$. Кроме того, оценивая максимальную функцию оператора ${\displaystyle I}$ можно доказать поточечную сходимость ${\displaystyle I^{\alpha }f\to f}$ почти всюду.

Оператор ${\displaystyle I^{\alpha }}$ хорошо определён на множестве локально-интегрируемых функций на всей действительной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Он определяет ограниченное отображение на любом банаховом пространстве функций экспоненциального типа ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)}$, состоящего из локально-интегрируемых функций для которых норма

${\displaystyle \|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

конечна. Для ${\displaystyle f}$ из ${\displaystyle X_{\sigma }}$ преобразование Лапласа функции ${\displaystyle I^{\alpha }f}$ принимает особенно простую форму:

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),}$

где ${\displaystyle \mathrm {Re} \,s>\sigma }$. Здесь через ${\displaystyle F(s)}$ обозначено преобразование Лапласа функции ${\displaystyle f}$ и это свойство выражает тот факт, что ${\displaystyle I^{\alpha }}$ представляет собой Фурье-мультипликатор.

Можно также определить производные дробного порядка от функции ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,}$

где через ${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$ обозначена операция взятия целой части. Можно также получить дифферинтегральную интерполяцию между дифференцированием и интегрированием определяя:

${\displaystyle \mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\alpha }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}}$

• Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, Providence, R.I.: American Mathematical Society.
• Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9.
• Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy, Acta mathematica Т. 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02395016.
• Alan Beardon. Fractional calculus II (неопр.). University of Cambridge (2000). Архивировано 17 мая 2012 года.
• Alan Beardon. Fractional calculus III (неопр.). University of Cambridge (2000). Архивировано 17 мая 2012 года.