Диагональный аргумент

Диагональный аргумент (диагональный метод Кантора) — доказательство теоремы Кантора о том, что множество всех подмножеств данного множества имеет бо́льшую мощность, чем само множество. В частности, множество всех подмножеств натурального ряда имеет мощность большую, чем алеф-0, и, значит, не является счётным[1]. Доказательство этого факта основано на следующем диагональном аргументе:

Диагональный аргумент Кантора: Каждое множество записывается как последовательность 0 и 1, где 1 на месте ${\displaystyle x}$ значит, что ${\displaystyle x}$ является элементом множества. Красным выделена последовательность на диагонали. Последовательность ${\displaystyle s}$ является дополнением этой последовательности: ${\displaystyle s(x)=1-s_{x}(x)}$. Тогда ${\displaystyle s}$ отличается от всех ${\displaystyle s_{x}}$ хотя бы в одном месте (а именно — в месте ${\displaystyle x}$).

Пусть есть взаимнооднозначное соответствие, которое каждому элементу ${\displaystyle x}$ множества ${\displaystyle X}$ ставит в соответствие подмножество ${\displaystyle s_{x}}$ множества ${\displaystyle X.}$ Пусть ${\displaystyle d}$ будет множеством, состоящим из элементов ${\displaystyle x}$ таких, что ${\displaystyle x\in s_{x}}$ (диагональное множество). Тогда дополнение этого множества ${\displaystyle s={\overline {d}}}$ не может быть ни одним из ${\displaystyle s_{x}.}$ А следовательно, соответствие было не взаимнооднозначным.

Кантор использовал диагональный аргумент при доказательстве несчётности действительных чисел в 1891 году. (Это не первое его доказательство несчётности действительных чисел, но наиболее простое)[2].

Диагональный аргумент использовался во многих областях математики. Так, например, он является центральным аргументом в теореме Гёделя о неполноте, в доказательстве существования неразрешимого перечислимого множества и, в частности, в доказательстве неразрешимости проблемы остановки[3].