Группа Кремоны

Группа Кремоны — это группа бирациональных автоморфизмов $n$ -мерного проективного пространства над полем $k$ . Группу ввёл в рассмотрение в 1863—1865 годах Луиджи Кремона[1][2]. Группа обозначается как $Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))$ , $Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))$ или $Cr_{n}(k)$ .

Группа Кремоны естественным образом отождествляется с группой автоморфизмов $\mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))$ поля рациональных функций от $n$ неизвестных над $k$ , или трансцендентным расширением поля $k$ со степенью трансцендентности $n$ .

Проективная полная линейная группа порядка $n+1$ проективных преобразований содержится в группе Кремоны порядка $n$ . Они совпадают только в случаях, когда $n=0$ или $n=1$ , в которых числитель и знаменатель преобразования линейны.

Группа Кремоны в пространствах размерности 2

В пространствах размерности два Гизатуллин[3] дал полное описание соотношений для системы образующих группы. Структура этой группы остаётся не вполне понятной, хотя имеется большое число работ по нахождению её элементов или подгрупп.

Серж Канта и Стефан Лами[4] показали, что группа Кремоны не проста как абстрактная группа.
Жереми Бланк показал, что группа не имеет нетривиальных нормальных подгрупп и замкнута в естественной топологии.
Долгачёва и Исковских написали статью о конечных подгруппах группы Кремоны[5].

Группа Кремоны в пространствах размерности 3 и больше

Мало известно о структуре группы Кремоны в пространствах размерности 3 и выше, хотя много элементов этой группы описано. Бланк[6] показал, что она (линейно) связна, ответив на вопрос Серра[7]. Нет простого аналога теореме Нётера — Кастельнуово, поскольку Хадсон[8] показала, что группа Кремоны в размерности по меньшей мере 3 не порождается её элементами степени, ограниченной любым фиксированным числом.

Группы де Жонкьера

Группа де Жонкьера[9] — это подгруппа группы Кремоны следующего вида. Выберем базис трансцендентности $x_{1},...,x_{n}$ для расширения поля $k$ . Тогда группа де Жонкьера — это подгруппа автоморфизмов $k(x_{1},...,x_{n})$ , отображающих подполе $k(x_{1},...,x_{r})$ в себя для некоторого $r\leqslant n$ . Она имеет нормальную подгруппу, заданную группой Кремоны автоморфизмов $k(x_{1},...,x_{n})$ над полем $k(x_{1},...,x_{r})$ , а фактор-группа является группой Кремоны $k(x_{1},...,x_{r})$ над полем $k$ . Она может считаться группой бирациональных автоморфизмов расслоённого пучка $\mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}$ .

Если $n=2$ и $r=1$ , группа де Жонкьера является группой Кремоны преобразований, сохраняющих пучок прямых через данную точку, и она является полупрямым произведением $\mathrm {PGL} _{2}(k)$ и $\mathrm {PGL} _{2}(k(t))$ .

Примечания

Cremona, 1863, с. 305–311.
Cremona, 1865, с. 269–280, 363–376.
Гизатуллин, 1982.
Cantat, Lamy, 2010.
Dolgachev, Iskovskikh, 2009.
Blanc, 2010.
Serre, 2010.
Hudson, 1927.
Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич] пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера:
преобразование де-Жонкьера: $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ , где $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots ,x_{n}),a_{i}\neq 0$ и $f_{i}$ — произвольный многочлен от переменных $x_{i+1},\dots ,x_{n}$ .

Литература

Maria Alberich-Carramiñana. Geometry of the plane Cremona maps. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 2002. — Т. 1769. — (Lecture Notes in Mathematics). — ISBN 978-3-540-42816-9. — doi:10.1007/b82933.
Jérémy Blanc. Groupes de Cremona, connexité et simplicité // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 2010. — Т. 43, вып. 2. — С. 357–364. — ISSN 0012-9593. — doi:10.24033/asens.2123.
Serge Cantat, Stéphane Lamy. Normal subgroups in the Cremona group // Acta Mathematica. — 2010. — Т. 210, вып. 2013. — С. 31–94. — . — arXiv:1007.0895.
Julian Lowell Coolidge. A treatise on algebraic plane curves. — Oxford University Press, 1931. — ISBN 978-0-486-49576-7.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane. — Giornale di matematiche di Battaglini. — 1863. — Т. 1.
Cremona L. Sulla trasformazioni geometiche delle figure piane // Giornale di matematiche di Battaglini. — 1865. — Т. 3.
Michel Demazure. Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. — 1970. — Т. 3. — С. 507–588. — ISSN 0012-9593.
Igor V. Dolgachev. Classical Algebraic Geometry: a modern view. — Cambridge University Press, 2012. — ISBN 978-1-107-01765-8. Архивная копия от 31 мая 2014 на Wayback Machine
Igor V. Dolgachev, Vasily A. Iskovskikh. Finite subgroups of the plane Cremona group // Algebra, arithmetic, and geometry: in honor of Yu. I. Manin. Vol. I. — Boston, MA: Birkhäuser Boston, 2009. — Т. 269. — С. 443–548. — (Progr. Math.). — ISBN 978-0-8176-4744-5. — doi:10.1007/978-0-8176-4745-2_11.
Долгачёв И.В., Исковских В.А. Геометрия алгебраических многообразий. — 1974. — Т. 12. — С. 77=170. — (Итоги науки и техники. Сер. Алгебра, Топология, Геометрия).
Гизатуллин М. Х. Определяющие соотношения для кремоновой группы плоскости // Изв. АН СССР.. — 1982. — Т. 46, № 5. — С. 211–268.
Lucien Godeaux. Les transformations birationelles du plan. — Gauthier-Villars et Cie, 1927. — Т. 22. — (Mémorial des sciences mathématiques).
Michiel Hazewinkel. Cremona group, Cremona transformation // Encyclopedia of Mathematics. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4.
Hilda Phoebe Hudson. Cremona transformations in plane and space. — Cambridge University Press, 1927. — ISBN 978-0-521-35882-8.
Semple J. G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. — The Clarendon Press Oxford University Press, 1985. — (Oxford Science Publications). — ISBN 978-0-19-853363-4.
Jean-Pierre Serre. A Minkowski-style bound for the orders of the finite subgroups of the Cremona group of rank 2 over an arbitrary field // Moscow Mathematical Journal. — 2009. — Т. 9, вып. 1. — С. 193–208. — ISSN 1609-3321.
Jean-Pierre Serre. Le groupe de Cremona et ses sous-groupes finis. — Astérisque. — 2010. — С. 75–100. — (Seminaire Bourbaki 1000). — ISBN 978-2-85629-291-4.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[_43527c6033f0ed14-1] Cremona, 1863, с. 305–311.

[_14ffbe37583505bf-2] Cremona, 1865, с. 269–280, 363–376.

[_9445261c1e897671-3] Гизатуллин, 1982.

[_ca1592acfff9c616-4] Cantat, Lamy, 2010.

[_7142d438370b30c1-5] Dolgachev, Iskovskikh, 2009.

[_b05bc829ef4a62e0-6] Blanc, 2010.

[_92df7e0db8064255-7] Serre, 2010.

[_3c137d7a902aa9f1-8] Hudson, 1927.

[9] Имеется разное написание фамилии. Так, И. Р. Шафаревич] пишет её через дефис: де-Жонкьер. Шафаревич даёт следующее определение группы де-Жонкьера:
преобразование де-Жонкьера: $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\to (y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ , где $y_{i}=a_{i}x_{i}+f_{i}(x_{i+1},\dots ,x_{n}),a_{i}\neq 0$ и $f_{i}$ — произвольный многочлен от переменных $x_{i+1},\dots ,x_{n}$ .