Горизонт частиц

В терминах сопутствующего расстояния горизонт частицы равен конформному времени ${\displaystyle \eta }$, прошедшему после Большого взрыва, умноженному на скорость света ${\displaystyle c}$. В общем случае, конформное время в определённое время ${\displaystyle t}$ определяется выражением:

${\displaystyle \eta =\int _{0}^{t}{\frac {dt'}{a(t')}}~,}$

где:

${\displaystyle a(t)}$ — масштабный коэффициент в метрике Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера.

Примем, что Большой взрыв произошёл в ${\displaystyle t=0}$. Пусть нижний индекс 0 означает сегодня, тогда конформное время сегодня:

${\displaystyle \eta (t_{0})=\eta _{0}=1.48\times 10^{18}{\text{ s}}~.}$

Конформное время — это не возраст вселенной, конформное время — это количество времени, которое потребуется фотону, чтобы пройти от того места, где мы находимся, до самого дальнего наблюдаемого расстояния при условии, что Вселенная прекратит расширяться. Таким образом, ${\displaystyle \eta _{0}}$ не является физически значимым временем (на самом деле это время ещё не наступило), хотя, как будет показано дальше, горизонт частиц, с которым он связан, является концептуально значимым расстоянием.

Горизонт частиц постоянно уменьшается с течением времени, а конформное время растёт. Таким образом, наблюдаемый размер Вселенной всегда увеличивается[1][3]. Поскольку правильное расстояние до горизонта частицы в данный момент времени — это просто сопутствующее расстояние, умноженное на масштабный коэффициент[4] (с сопутствующим расстоянием обычно определяется как равное надлежащему расстоянию в настоящее время, поэтому ${\displaystyle a(t_{0})=1}$ в настоящее время), то в момент времени ${\displaystyle t}$ оно даётся выражением[5]:

${\displaystyle a(t)H_{p}(t)=a(t)\int _{0}^{t}{\frac {c\,dt'}{a(t')}}}$

и на сегодня, то есть при ${\displaystyle t=t_{0}}$:

${\displaystyle H_{p}(t_{0})=c\eta _{0}=14.4}$ Гпк ${\displaystyle =46.9}$ миллиарда световых лет.

В контексте космологической модели ФЛРУ[6] Вселенная может быть аппроксимирована как состоящая из невзаимодействующих компонентов, каждая из которых представляет собой идеальную жидкость с плотностью ${\displaystyle \rho _{i}}$, парциальным давлением ${\displaystyle p_{i}}$ и уравнением состояния ${\displaystyle p_{i}=\omega _{i}\rho _{i}}$, так что они складываются в общую плотность ${\displaystyle \rho }$ и полное давление ${\displaystyle p}$[7]. Определим следующие функции:

• Функция Хаббла ${\displaystyle H={\frac {\dot {a}}{a}}}$
• Критическая плотность ${\displaystyle \rho _{c}={\frac {3}{8\pi G}}H^{2}}$
• Безразмерная i-я плотность энергии ${\displaystyle \Omega _{i}={\frac {\rho _{i}}{\rho _{c}}}}$
• Безразмерная плотность энергии ${\displaystyle \Omega ={\frac {\rho }{\rho _{c}}}=\sum \Omega _{i}}$
• Красное смещение ${\displaystyle z}$, заданное формулой ${\displaystyle 1+z={\frac {a_{0}}{a(t)}}}$

Далее любая функция с нулевым индексом обозначает функцию, вычисляемую в настоящее время ${\displaystyle t_{0}}$ (или что эквивалентно ${\displaystyle z=0}$). Последний член примем равным ${\displaystyle 1}$, включая уравнение состояния кривизны[8]. Можно доказать, что функция Хаббла задаётся формулой:

${\displaystyle H(z)=H_{0}{\sqrt {\sum \Omega _{i0}(1+z)^{n_{i}}}}~,}$

где:

${\displaystyle n_{i}=3(1+\omega _{i})~.}$

Здесь добавление распространяется на все возможные частичные составляющие, и, в частности, их может быть счётно бесконечно много. В этих обозначениях имеем[8]:

Горизонт частиц ${\displaystyle H_{p}}$ существует тогда и только тогда, когда ${\displaystyle N>2}$,

где:

${\displaystyle N}$ — наибольшее ${\displaystyle n_{i}}$ (возможно, бесконечное).

Эволюция горизонта частиц для расширяющейся Вселенной (${\displaystyle {\dot {a}}>0}$)[8]:

${\displaystyle {\frac {dH_{p}}{dt}}=H_{p}(z)H(z)+c~,}$

где:

${\displaystyle c}$ — скорость света и может быть принята равной ${\displaystyle 1}$ (натуральная единица).

Здесь производная берётся по времени ФЛРУ[6] ${\displaystyle t}$, в то время как функции оцениваются по красному смещению ${\displaystyle z}$, которые связаны, как указано ранее. Существует аналогичный, но немного другой результат для горизонта событий.

Концепция горизонта частиц может быть использована для иллюстрации известной проблемы горизонта, которая является нерешённой проблемой, связанной с моделью Большого взрыва. Экстраполируя назад ко времени рекомбинации, когда излучался космический микроволновый фон (КМФ), получим горизонт частиц примерно равным:

${\displaystyle H_{p}(t_{\text{КМ Ф}})=c\eta _{\text{КМ Ф}}=284}$ Мпк ${\displaystyle =8.9\times 10^{-3}H_{p}(t_{0})~,}$

что соответствует надлежащему размеру на тот момент:

${\displaystyle a_{\text{КМ Ф}}H_{p}(t_{\text{КМ Ф}})=261}$ Кпк

Поскольку наблюдаемое реликтовое излучение в основном излучается из современного горизонта частиц (${\displaystyle 284}$ Мпк ${\displaystyle \ll 14.4}$ Гпк), вправе ожидать, что части космического микроволнового фона (реликтового излучения), которые на небе разделены долей большого круга примерно равной:

${\displaystyle f={\frac {H_{p}(t_{\text{КМ Ф}})}{H_{p}(t_{0})}}}$

(угловой размер ${\displaystyle \theta \sim 1.7^{\circ }}$)[9] должны быть вне причинного контакта друг с другом. То, что всё реликтовое излучение находится в тепловом равновесии и хорошо аппроксимирует чёрное тело, не объясняется стандартными описаниями того, как происходит расширение Вселенной. Самым популярным решением этой проблемы является космическая инфляция.

• Космологический горизонт
• Метагалактика