Масштабный коэффициент (космология)

Космологический масштабный коэффициент — параметр уравнения Фридмана, что является показателем изменения расстояния между галактиками в результате расширения (или сжатия) Вселенной. Космологический масштабный коэффициент обозначается обычно буквой ${\displaystyle a}$, зависит от времени, а его логарифмическая производная по времени равна постоянной Хаббла:

${\displaystyle H={\frac {{\dot {a}}(t)}{a(t)}}}$.

Обычно космологический мастштабный коэффициент выбирают безразмерным, его настоящее значение ${\displaystyle a(t_{0})=1}$, где ${\displaystyle t_{0}}$ — возраст Вселенной, начиная от Большого взрыва. Его можно также выбрать соразмерным с размерностью длины.

Масштабный коэффициент входит в метрику Фридмана-Леметра-Робертсона-Вокера

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-kr^{2}/a^{2}}}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$.

Эту метрику можно получить из следующих соображений (для k = 1): пусть однородно заполненное веществом пространство является сферой в четырёхмерном гиперпространстве с координатами ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},}$. Уравнение гиперсферы:

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=a^{2}}$.

Исключая с помощью этого уравнения ${\displaystyle x_{4}}$, выражение для элемента длины в сферической системе координат будет иметь вид:

${\displaystyle dl^{2}={\frac {dr^{2}}{1-r^{2}/a^{2}}}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\varphi ^{2})}$,

что и даёт приведённую выше метрику. Согласно этим уравнениям коэффициент ${\displaystyle a}$ можно интерпретировать как кривизну трёхмерного пространства.