Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа

Гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа в теории чисел является предположением об условиях существования решений в натуральных числах уравнений для сумм одинаковых степеней неизвестных. Эти уравнения являются обобщением уравнений великой теоремы Ферма.

Предыстория

Целочисленные решения диофантовых уравнений, например, целочисленные решения уравнения $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , связанного с теоремой Пифагора, изучались на протяжении многих столетий. Великая теорема Ферма утверждает, что для целых степеней $k>2$ уравнение $a^{k}+b^{k}=c^{k}$ не имеет решения в натуральных числах $a,b,c$ .

В 1769 году Леонард Эйлер, увеличив число слагаемых в уравнении, выдвинул гипотезу, которая в обобщённой форме сводится к тому, что уравнение

\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}

не имеет решения в натуральных числах, если $k\geq m+n$ , за исключением тривиального случая, когда корни в левой части уравнения являются перестановкой корней в правой части уравнения. Такие уравнения можно обозначить тройками чисел $(k,m,n)$ [1].

В 1966 году Леон Дж. Ландер (англ. Leon. J. Lander) и Томас Р. Паркин (англ. Thomas. R. Parkin) нашли для $k=5$ контрпример, опровергающий гипотезу Эйлера[2]:

27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}=144^{5}.

Для $k=4$ первым контрпример нашёл Ноам Элкис в 1988 году.[3] Наименьшее решение, найденное в том же году (Roger Frye, 1988) таково:

414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}=422481^{4},

Однако для $k=6$ гипотеза Эйлера остаётся открытой.

Гипотеза

В 1967 году Ландер, Паркин и Джон Селфридж предположили[4], что уравнение

\sum _{i=1}^{m}x_{i}^{k}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{k}

может иметь нетривиальное решение в натуральных числах, только если $k\leq m+n$ .

Из великой теоремы Ферма вытекает справедливость гипотезы для случая $(k,2,1),k>3$ и отсутствие решений для $(3,2,1)$ .

Поиск решений уравнений $(k,m,n)$ для некоторых степеней оказывается трудной задачей не только для $k=m+n$ , но и для $k<m+n$ . Поиском решений для различных $(k,m,n)$ занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[5] и yoyo@home.

Известные решения для (k, m, n), k = m + n

По состоянию на 2006 год известны следующие решения для (k, m, n) при k = m + n:[6]

(4, 2, 2)

158^{4}+59^{4}=134^{4}+133^{4}

, бесконечно много решений.

(4, 1, 3)

422481^{4}=414560^{4}+217519^{4}+95800^{4}

, бесконечно много решений.

(5, 1, 4)

144^{5}=133^{5}+110^{5}+84^{5}+27^{5}

, известно 2 решения.

(5, 2, 3)

14132^{5}+220^{5}=14068^{5}+6237^{5}+5027^{5}

, известно 1 решение.

(6, 3, 3)

23^{6}+15^{6}+10^{6}=22^{6}+19^{6}+3^{6}

, известно >100 решений.

(8, 3, 5)

966^{8}+539^{8}+81^{8}=954^{8}+725^{8}+481^{8}+310^{8}+158^{8}

, известно 1 решение.

(8, 4, 4)

3113^{8}+2012^{8}+1953^{8}+861^{8}=2823^{8}+2767^{8}+2557^{8}+1128^{8}

, известно 1 решение.

Некоторые решения для (k, k, 1)

k = 3

3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}

.

k = 4

30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}=353^{4}

(R. Norrie, 1911)[4]

k = 5

19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}=72^{5}

(Lander, Parkin, Selfridge, smallest, 1967)[4]

k = 6

Решения неизвестны.

k = 7

127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}=568^{7}

(M. Dodrill, 1999)

k = 8

90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}=1409^{8}

(Scott Chase, 2000)

k ≥ 9

Решения неизвестны.

Примечания

Сам Эйлер рассматривал только случай (k, m, 1).
L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72. — P. 1079. — doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.
Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ (рум.) // Mathematics of Computation. — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — .
L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1967. — Vol. 21, no. 99. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. — .
EulerNet
Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums

Литература

Richard K. Guy. Unsolved Problems in Number Theory (неопр.). — 3rd. — New York, NY: Springer-Verlag, 2004. — С. D1. — (Problem Books in Mathematics). — ISBN 0-387-20860-7.

Ссылки

EulerNet
Гипотеза Эйлера
Equal Sums of Powers - Tables
Tito Piezas III: A Collection of Algebraic Identities
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--5th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--6th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--7th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--8th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Euler's Sum of Powers Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Euler Quartic Conjecture (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Diophantine Equation--4th Powers (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Euler’s Conjecture at library.thinkquest.org
Mathematicians Find New Solutions To An Ancient Puzzle

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Сам Эйлер рассматривал только случай (k, m, 1).

[2] L. J. Lander, T. R. Parkin. Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers (англ.) // Bull. Amer. Math. Soc. : journal. — 1966. — Vol. 72. — P. 1079. — doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3.

[Elkies1988-3] Noam Elkies. On A⁴ + B⁴ + C⁴ = D⁴ (рум.) // Mathematics of Computation. — 1988. — Т. 51, nr. 184. — P. 825—835. — doi:10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9. — .

[autogenerated446-4] L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge; Parkin; Selfridge. A Survey of Equal Sums of Like Powers (англ.) // Mathematics of Computation : journal. — 1967. — Vol. 21, no. 99. — P. 446—459. — doi:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0. — .

[5] EulerNet

[6] Math Games, Ed Pegg Jr., Power Sums